CE ouvrages géotechniques
Author
Collin Eloy
Last Updated
3 years ago
License
Creative Commons CC BY 4.0
Abstract
Rapport CE ouvrages géotechniques
Rapport CE ouvrages géotechniques
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Focus Beamer Presentation
% LaTeX Template
% Version 1.0 (8/8/18)
%
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% http://www.LaTeXTemplates.com
%
% Original author:
% Pasquale Africa (https://github.com/elauksap/focus-beamertheme) with modifications by
% Vel (vel@LaTeXTemplates.com)
%
% Template license:
% GNU GPL v3.0 License
%
% Important note:
% The bibliography/references need to be compiled with bibtex.
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%----------------------------------------------------------------------------------------
% PACKAGES AND OTHER DOCUMENT CONFIGURATIONS
%----------------------------------------------------------------------------------------
\documentclass{beamer}
\usetheme{focus} % Use the Focus theme supplied with the template
% Add option [numbering=none] to disable the footer progress bar
% Add option [numbering=fullbar] to show the footer progress bar as always full with a slide count
% Uncomment to enable the ice-blue theme
%\definecolor{main}{RGB}{92, 138, 168}
%\definecolor{background}{RGB}{240, 247, 255}
%------------------------------------------------
\usepackage{booktabs} % Required for better table rules
\usepackage{gensymb}
%----------------------------------------------------------------------------------------
% TITLE SLIDE
%----------------------------------------------------------------------------------------
\title{GCIV2036-2 :\\ Convergence-confinement}
\subtitle{Présentation des résultats}
\author{Arthur Fanara \\ Bérengère Franck}
\titlegraphic{\includegraphics[width=4cm]{Logo.jpg}} % Optional title page image, comment this line to remove it
\institute{ULiège \\ Professeur : F. Collin\\ Assistant : G. Corman}
\date{\today}
%------------------------------------------------
\begin{document}
\scriptsize
%------------------------------------------------
\begin{frame}
\maketitle % Automatically created using the information in the commands above
\end{frame}
%----------------------------------------------------------------------------------------
% SECTION 1
%----------------------------------------------------------------------------------------
\begin{frame}{Sommaire}
\tableofcontents
% possibilité d'ajouter l'option [pausesections]
\end{frame}
\section{Introduction}
\begin{frame}{Introduction}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{image.png}
\caption{Fonçage et puis d'accès}
\end{figure}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=6cm]{coupe.png}
\caption{Coupe verticale simplifiée du massif au niveau du puits}
\end{figure}
\end{frame}
\subsection{Présentation de la méthode}
\begin{frame}{Présentation de la méthode}
\begin{columns}
\begin{column}{0.54\textwidth}
\begin{itemize}
\item Le déconfinement du massif s'accompagne d'un déplacement des points situés à l'intrados :
$$f_m (\sigma , u) = 0$$
\item Le comportement mécanique du soutènement est décrit par la relation
$$f_s (\sigma , u) = 0$$
\item La méthode de convergence-confinement décrit la relation entre le massif et le soutènement et l'équilibre est donné par l'intersection des courbe de convergence et de confinement, c'est-à-dire par la solution du système constitué des deux équations précédentes.
\end{itemize}
\end{column}
\begin{column}{0.45\textwidth}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=5cm]{principe.png}
\end{figure}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}{Présentation de la méthode}
\begin{itemize}
\item Le moment auquel le soutènement est installé est important
\item La méthode permet d'étudier le problème en 1D (simplification par rapport à une étude 3D)
\end{itemize}
\vspace{0.3cm}
\underline{Hypothèses de la méthode}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Matériau homogène et isotrope
\item[$\bullet$] Champ de contraintes uniforme
\item[$\bullet$] Conditions de symétrie de révolution
\item[$\bullet$] Déformations planes dans le plan perpendiculaire à l'axe du puits
\item[$\bullet$] Pas de variation de contraintes initiales
\end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Présentation du problème}
\begin{frame}{Présentation du problème}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\underline{But :} tracer
\begin{itemize}
\item le déplacement du massif $u_R$
\item la distribution des contraintes $\sigma_r$ et $\sigma_{\theta}$
\item les chemins de contraintes p-q et $\sigma_r - \sigma_{\theta}$
\item les courbes caractéristiques du massif et du soutènement \newline
\end{itemize}
\underline{Données}
\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Données & Valeur & Unité \\
\hline
$E_b$ & 30 & GPa \\
\hline
$\nu_b$ & 0,2 & - \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\end{column}
\begin{column}{0.49\textwidth}
\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Données & Valeur & Unité \\
\hline
$\gamma_{sat,sol}$ & 18 & $kN/m^3$ \\
\hline
$H_s$ & 7 & m \\
\hline
$H_A$ & 20 & m \\
\hline
$H_B$ & 30 & m \\
\hline
$E_A$ & 150 & MPa \\
\hline
$E_B$ & 800 & MPa \\
\hline
$\nu_A$ & 0,21 & - \\
\hline
$\nu_B$ & 0,26 & - \\
\hline
$c_A$ & \textbf{10} & kPa \\
\hline
$c_B$ & 100 & kPa \\
\hline
$\phi_A$ & 22 & $\degree$ \\
\hline
$\phi_B$ & 27 & $\degree$ \\
\hline
$\psi_A$ & 3 & $\degree$ \\
\hline
$\psi_B$ & 4 & $\degree$ \\
\hline
$\gamma_{sat,A}$ & 23,5 & $kN/m^3$ \\
\hline
$\gamma_{sat,B}$ & 24 & $kN/m^3$ \\
\hline
$K_{0A}$ & 0,8 & - \\
\hline
$K_{0B}$ & 1,05 & - \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}{Calcul des contraintes initiales}
Calcul de $\sigma_0$ pour chaque couche :\\
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]$\sigma_{0A} = (\gamma_{sol} \cdot h_{sol} + \gamma_A \cdot h_A) \cdot K_{0A} = 476,8 \ kPa$ \\
\item[$\bullet$]$ \sigma_{0B} = (\gamma_{sol} \cdot h_{sol} + \gamma_A \cdot h_A + \gamma_B \cdot h_B) \cdot K_{0B} = 1381,8 \ kPa$ \newline
\end{itemize}
\end{frame}
\section{Étude élastique}
\subsection{Déplacement du massif}
\begin{frame}{Déplacement du massif}
\[\text{\textbf{Déplacement radial} :}\quad u_r (r)= \lambda \dfrac{R^2}{r} \dfrac{\sigma_0}{2G}\quad\text{où}\;r\in[R;3R]\;\text{et}\; \lambda\in[0;1]\]
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[height=4cm]{Results_ur.png}
\caption{\scriptsize{Solution théorique de la relation $u(r)$}}
\label{Results_ur}
\end{figure}
Première composante de la courbe caractéristique du massif : \[u_r(r=R) = \lambda \dfrac{\sigma_0 R}{2G}\]
%En principe, lorsque $x< 0,2R$ (près du front de taille), $\lambda$ dépend fortement du coefficient de poisson. Dans ce cas, on suppose un coefficient de poisson $\nu$ constant. (Pas étudié ici si?)
\end{frame}
\begin{frame}{Déplacement du massif}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=5.5cm]{ur_A.png}
%\caption{Déplacement du massif en A}
\end{figure}
\end{column}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=5.5cm]{ur_B.png}
%\caption{Déplacement du massif en B}
\end{figure}
\end{column}
\end{columns}
\begin{itemize}
\item Plus $\lambda$ est grand, plus le déplacement est grand
\item Plusieurs valeurs de $\lambda$ : effet du déconfinement dans chaque couche\\ $\rightarrow$ la couche A est moins rigide
\end{itemize}
\end{frame}
\subsection{Distribution des contraintes}
\begin{frame}{Distribution des contraintes}
\[\text{\textbf{Contraintes radiales} :}\quad \sigma_r(r) = \left( 1 - \lambda \dfrac{R^2}{r^2}\right) \sigma_0\]
\[\text{\textbf{Contraintes orthogonales} :}\quad \sigma_{\theta}(r) = \left( 1 + \lambda \dfrac{R^2}{r^2}\right) \sigma_0\]
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[height=3.5cm]{Results_sigmar.png}
\caption{\scriptsize{Solution théorique des relations $\sigma_r(r)$ et $\sigma_{\theta}(r)$}}
\label{Results_sigmar}
\end{figure}
Deuxième composante de la courbe caractéristique du massif : \[\sigma_r(r=R) = (1-\lambda)\sigma_0\]
\end{frame}
\begin{frame}{Distribution des contraintes}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=8cm]{sig_A.png}
\end{figure}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=8cm]{sig_B.png}
\end{figure}
\end{frame}
%on est à la périphérie du soutènement, on calcule sigma_r en fonction de lambda
%alpha -> dépend de x / corrélation avec lambda : variation x de -2R à 4R est comme variation lambda 0 à 1
%loin dans confinement = soutènement mis trop tard ou pas nécessaire
\subsection{Chemins de contraintes p-q et $\sigma_r - \sigma_{\theta}$}
\begin{frame}{Chemins de contraintes}
\underline{Chemins de contraintes $p-q$}
\[\text{\textbf{Contraintes moyennes :}}\quad p = \dfrac{\sigma_r + \sigma_{\theta}}{2}=\sigma_0\]
\[\text{\textbf{Contraintes déviatoriques :}}\quad q=\sigma_{\theta} - \sigma_r=2\lambda\sigma_0\]
\vspace{0,5cm}
\underline{Chemins de contraintes $\sigma_r - \sigma_{\theta}$}
\[\sigma_r(r=R) = \left( 1 - \lambda \right) \sigma_0\quad \text{et}\quad \sigma_{\theta}(r=R) = \left( 1 + \lambda \right) \sigma_0\]
$\rightarrow$ Contraintes radiales évoluent de manière \textbf{inversément proportionnelle} aux contraintes tangentielles\\
\[\text{En}\;\lambda=0\;:\quad\sigma_r=\sigma_{\theta}=\sigma_0\]
\end{frame}
\begin{frame}{Chemins de contraintes p-q}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{pq.pdf}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{Chemins de contraintes $\sigma_r - \sigma_{\theta}$}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{sig.png}
\end{figure}
\end{frame}
\subsection{Courbes caractéristiques}
\begin{frame}{Courbe caractéristique du soutènement}
\[\text{Si }\;x\in[-2R;4R]\;:\quad u_R(x)=\alpha(x)\dfrac{\sigma_0R}{2G}\]
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[height=4cm]{CourbeSout.png}
\caption{\scriptsize{Déplacements en paroi en fonction de la distance au front de taille}}
\label{CourbeSout}
\end{figure}
\vspace{-0.3cm}
\[\alpha(x)=\alpha_0+(1-\alpha_0)\;a(x)\;\text{avec}\;\alpha_0=0,25\;\text{et}\;\forall x\geq0\]\[a(x)=1-\left[\dfrac{mR}{mR+x}\right]^2\;\text{avec}\;m=0,75\]
\end{frame}
\begin{frame}
\underline{Contraintes radiales :}\\
\[\text{Si}\;x<d\;:\quad \sigma_r(x)=0\]
\[\text{Si}\;x\in[d;4R]\;:\quad \sigma_r(x)=K_{sn}\dfrac{u_r(x)-u_r(d)}{R}\]
\[K_{sn}=\dfrac{E_b}{1-\nu_b^2}\dfrac{e_b}{R}\;\text{en paroi mince}\;\left(\dfrac{R}{e_b}>10\right)\]
\end{frame}
\begin{frame}{Courbes caractéristiques}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=9cm]{sig_u_A.png}
\end{figure}
\[\text{d=2m et e=20cm}\]
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=9cm]{sig_u_B.png}
\end{figure}
\[\text{d=2m et e=20cm}\]
\end{frame}
\subsection{Variation des paramètres}
\begin{frame}{Variation de la distance du soutènement}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{var_d.png}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{Variation de l'épaisseur du soutènement}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{var_e.png}
\end{figure}
\end{frame}
\section{Étude élastoplastique}
\subsection{Critère de Mohr-Coulomb et comportement élastoplastique}
\begin{frame}{Critère de Mohr-Coulomb}
\[\tau=\sigma_n\;\tan\phi+c\]
\[\longrightarrow \sigma_c=\sigma_{\theta}-K_p\sigma_r\]
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[height=4cm]{MohrCoulomb.png}
\caption{\scriptsize{Modèle de Mohr-Coulomb}}
\label{MohrCoulomb}
\end{figure}
\vspace{-0.3cm}
\[K_p=\dfrac{1+\sin\phi}{1-\sin\phi}\;\text{et}\;\sigma_c=\dfrac{2c\;\cos\phi}{1-\sin\phi}\]
\end{frame}
\begin{frame}{Comportement élastoplastique}
Comportement \textbf{plastique parfait} (sans écrouissage ni adoucissement) :\[\lambda_e=\dfrac{1}{K_p+1}\left[K_p-1+\dfrac{\sigma_c}{\sigma_0}\right]\]
\[\text{Rayon plastique :}\quad R_p=\left\{\begin{array}{l}R\;\text{si}\;\lambda\leq\lambda_e\\ \\
R\left[\dfrac{2\lambda_e}{(K_p+1)\lambda_e-(K_p-1)\lambda}\right]^{1/(K_p-1)} \;\text{si}\;\lambda>\lambda_e\end{array}\right.\]
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[height=3cm]{RpTh.png}
\caption{\scriptsize{Évolution du rayon plastique}}
\label{RpTh}
\end{figure}
\end{frame}
\subsection{Déplacement du massif}
\begin{frame}{Déplacement du massif}
\[u_r(r)=\left\{\begin{array}{l}
\lambda\dfrac{R^2}{r}\dfrac{\sigma_0}{2G}\;\text{si}\;\lambda\leq\lambda_e\\\\
\dfrac{\lambda_e\sigma_0r}{2G}\left(F_1+F_2\left(\dfrac{r}{R_p}\right)^{K_p-1}+F_3\left(\dfrac{R_p}{r}\right)^{K+1}\right)\;\text{si}\;\lambda>\lambda_e\;\text{et}\;r\leq R_p\\\\
\lambda_e\dfrac{R_p^2}{r}\dfrac{\sigma_0}{2G}\;\text{si}\;\lambda>\lambda_e\;\text{et}\;r> R_p\end{array}\right.\]
où $F_1$, $F_2$, $F_3$ et $K$ sont des paramètres dépendant de $\nu$, $K_p$ et $\psi$.\\
On a par ailleurs calculé : \[\lambda_{e,\text{couche A}} = 0,39\]
\[\lambda_{e,\text{couche B}} = 0,52\]
\end{frame}
\begin{frame}{Déplacement du massif}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=5.5cm]{ur_A2.pdf}
%\caption{Déplacement du massif en A}
\end{figure}
\end{column}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=5.5cm]{ur_A_zoom.pdf}
%\caption{Déplacement du massif en B}
\end{figure}
\end{column}
\end{columns}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=5.5cm]{ur_B2.pdf}
%\caption{Déplacement du massif en B}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{Rayon plastique}
\[\text{Plus $\lambda$ est grand, et plus $R_p$ est grand $\longrightarrow$ Grands déplacements}\]
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{RPlambda.pdf}
\end{figure}
\end{frame}
\subsection{Distribution des contraintes}
\begin{frame}{Distribution des contraintes}
\begin{align*}
\sigma_r(r)&=\left\{\begin{array}{l}
\left(1-\lambda\dfrac{R^2}{r^2}\right)\sigma_0\;\text{si}\;\lambda\leq\lambda_e\\\\
\left(\dfrac{\sigma_0}{K_p-1}\right)\left(2\lambda_e\left(\dfrac{r}{R_p}\right)^{K_p-1}-\dfrac{\sigma_c}{\sigma_0}\right)\;\text{si}\;\lambda>\lambda_e\;\text{et}\;r\leq R_p\\\\
\left(1-\lambda_e\dfrac{R_p^2}{r^2}\right)\sigma_0\;\text{si}\;\lambda>\lambda_e\;\text{et}\;r> R_p\end{array}\right.\\\\
\sigma_{\theta}(r)&=\left\{\begin{array}{l}
\left(1+\lambda\dfrac{R^2}{r^2}\right)\sigma_0\;\text{si}\;\lambda\leq\lambda_e\\\\
\sigma_c+K_p\;\sigma_{r,plast}\;\text{si}\;\lambda>\lambda_e\;\text{et}\;r\leq R_p\\\\
\left(1+\lambda_e\dfrac{R_p^2}{r^2}\right)\sigma_0\;\text{si}\;\lambda>\lambda_e\;\text{et}\;r> R_p\end{array}\right.
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}{Distribution des contraintes}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[height=4cm]{SigTresca.png}
\caption{\scriptsize{Distribution des contraintes pour le modèle de Tresca}}
\label{SigTresca}
\end{figure}
\vspace{-0.2cm}
Dans notre cas (Mohr-Coulomb) : \[\sigma_{\theta}-\sigma_r=2c\longrightarrow \sigma_{\theta}-K_p\sigma_r=\sigma_c\]
\end{frame}
\begin{frame}{Distribution des contraintes}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=9cm]{sig_A2.png}
\end{figure}
\[\text{Pic en }r=R_p\]
\end{frame}
\begin{frame}{Distribution des contraintes}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=9cm]{sig_B2.png}
\end{figure}
\end{frame}
\subsection{Chemins de contraintes p-q et $\sigma_r - \sigma_{\theta}$}
\begin{frame}{Chemins de contraintes p-q}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{pq2.png}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{Chemins de contraintes $\sigma_r - \sigma_{\theta}$}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{sig2.png}
\end{figure}
\end{frame}
\subsection{Courbes caractéristiques}
\begin{frame}{Courbe caractéristique du massif}
\begin{align*}
u_r(r=R)&=\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{\lambda\sigma_0R}{2G}\;\text{si}\;\lambda\leq\lambda_e\\\\
\dfrac{\lambda_e\sigma_0R}{2G}\left(F_1+F_2\left(\dfrac{R}{R_p}\right)^{K_p-1}+F_3\left(\dfrac{R_p}{R}\right)^{K+1}\right)\;\text{si}\;\lambda>\lambda_e\end{array}\right.\\\\
\sigma_r(r=R)&=\left\{\begin{array}{l}
(1-\lambda)\sigma_0\;\text{si}\;\lambda\leq\lambda_e\\\\
\left(\dfrac{\sigma_0}{K_p-1}\right)\left(2\lambda_e\left(\dfrac{R}{R_p}\right)^{K_p-1}-\dfrac{\sigma_c}{\sigma_0}\right)\;\text{si}\;\lambda>\lambda_e\end{array}\right.\\\\
\sigma_{\theta}(r=R)&=\left\{\begin{array}{l}
(1+\lambda)\sigma_0\;\text{si}\;\lambda\leq\lambda_e\\\\
\sigma_c+K_p\;\sigma_{r,plast}\;\text{si}\;\lambda>\lambda_e\end{array}\right.
\end{align*}
\end{frame}
\begin{frame}{Courbe caractéristique du soutènement}
\underline{Déplacement radial :}\\
\[\text{Si }\;x\in[-2R;4R]\;:\quad u_R(x)=\dfrac{1}{\xi}\alpha(x)\dfrac{\sigma_0R}{2G}\]\vspace{0.7cm}
\[\dfrac{1}{\xi} = \lambda_e\left(\dfrac{R_{p,max}}{R}\right)^{K+1}\;\text{avec}\;R_{p,max}=R_p(\lambda=1)\]
\[\alpha(x)=\alpha_0+(1-\alpha_0)\;a(x)\;\text{avec}\;\alpha_0=0,25\;\text{et}\;\forall x\geq0\]\[a(x)=1-\left[\dfrac{mR}{mR+x\xi}\right]^2\;\text{avec}\;m=0,75\]
\end{frame}
\begin{frame}
\underline{Contraintes radiales :}\\
\[\text{Si}\;x<d\;:\quad \sigma_r(x)=0\]
\[\text{Si}\;x\in[d;4R]\;:\quad \sigma_r(x)=K_{sn}\dfrac{u_r(x)-u_r(d)}{R}\]
\[K_{sn}=\dfrac{E_b}{1-\nu_b^2}\dfrac{e_b}{R}\;\text{en paroi mince}\;\left(\dfrac{R}{e_b}>10\right)\]
\end{frame}
\begin{frame}{Courbes caractéristiques}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{sig_u_A2.png}
\end{figure}
\[d=2\text{m et }e=5\text{cm}\]
\end{frame}
\begin{frame}{Courbes caractéristiques}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{sig_u_B2.png}
\end{figure}
\[d=2\text{m et }e=5\text{cm}\]
\end{frame}
\subsection{Variation des paramètres}
\begin{frame}{Variation de l'épaisseur du soutènement}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{var_eA.png}
\end{figure}
\[d=2\text{m}\]
\end{frame}
\begin{frame}{Variation de l'épaisseur du soutènement}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{var_eB.png}
\end{figure}
\[d=2\text{m}\]
\end{frame}
\begin{frame}{Variation de la distance du soutènement}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{var_dA.png}
\end{figure}
\[e=5\text{cm}\]
\end{frame}
\begin{frame}{Variation de la distance du soutènement}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{var_dB.png}
\end{figure}
\[e=5\text{cm}\]
\end{frame}
\begin{frame}{Variation du module de rigidité}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{var_EbB.pdf}
\end{figure}
\[d=1\text{m et }e=5\text{cm}\]
\end{frame}
\begin{frame}{Variation de la cohésion dans le massif}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{var_cA.pdf}
\end{figure}
\[d=2\text{m et }e=5\text{cm}\]
\end{frame}
\begin{frame}{Variation de l'angle de frottement dans le massif}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{phi_A.pdf}
\end{figure}
\[d=2\text{m et }e=5\text{cm}\]
\end{frame}
\begin{frame}{Variation du rayon de plasticité $R_p$}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{Rp.pdf}
\end{figure}
\[d=2\text{m et }e=5\text{cm}\]
\end{frame}
\section{Dimensionnement}
\begin{frame}{Dimensionnement}
\begin{center}
Dimensionnement pour limiter $u_r(x)$ à 5 cm : \textbf{impossible} en A\\\vspace{0.5cm}
$\longrightarrow$ Accepter 20cm de déplacement OU Soutènement en voûtes parapluies
\end{center}
\end{frame}
\begin{frame}{Dimensionnement}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{dimA.png}
\end{figure}
\[d=1\text{m et }e=5\text{cm}\]
\end{frame}
\begin{frame}{Dimensionnement}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[width=10cm]{dimB.png}
\end{figure}
\[d=3\text{m et }e=5\text{cm}\]
\end{frame}
\section{Conclusion}
\begin{frame}{Conclusion}
\begin{itemize}
\item Couche A la plus critique
\item Diminution du déplacement si
\begin{itemize}\scriptsize{
\item[$\bullet$] l'épaisseur du soutènement augmente
\item[$\bullet$] la distance du soutènement par rapport au front de taille diminue
\item[$\bullet$] le module de Young du béton augmente
\item[$\bullet$] la cohésion augmente
\item[$\bullet$] l'angle de frottement augmente}
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}
\end{document}