Zadanie

\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}

\title{Zadanie}

\author{Klaudia Soluch, IIIb}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle
\begin{center}Matura CKE, poziom rozszerzony, maj 2009
(\href{http://www.cke.edu.pl/images/stories/Arkusze_matura_09/matematyka_pr.pdfCKE, poziom rozszerzony, maj 2009}
{Link})\end{center}



\linespread{4}

\section*{Zadanie 7. (\textit{6pkt})}


Ciąg $(x-3, x+3, 6x+2,...)$ jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach 
dodatnich. Oblicz iloraz tego ciągu i uzasadnij, że 
$\frac{ S_{19} }{ S_{20} }<\frac{1}{4}\quad$, gdzie $S_{n}$ oznacza sumę n początkowych wyrazów tego ciągu.\\ 


\textbf {Dane}:
\begin{itemize}
\item Ciąg geometryczny: $(x-3, x+3, 6x+2,...)$\\
\end{itemize}

\textbf {Szukane}:
\begin{itemize}
\item iloraz ciągu\\ 
\end{itemize}



\textbf {Dziedzina ciągu}:
\[
D_{f} = \left\{ \begin{array}{ll}
$$x-3>0$$ \\
$$x+3>0$$ \\
$$6x+2>0$$\\
\end{array}  \right.
\]
\begin{center}Z tego wynika, że:

$x>3$\\\end{center}

\textbf {Rozwiązanie}:

\begin{enumerate}
\item Trzy kolejne wyrazy a,b,c  ciągu geometrycznego muszą spełniać warunek: $b_{2} = ac$. W tym przypadku prowadzi to do równania:
$(x+3)^2=(x-3)(6x+2)$\\
$x^{2}+6x+9=6^{x}+2x-18x-6$\\
$5x_{2}-22x-15=0$\\


$\Delta=b^2-4ac$\\
$\Delta = 484+300=784$\\

$\sqrt{784}=28$\\


$x_1=\frac{22-28}{10}=\frac{-3}{5}$\\

$x_2=\frac{-22+28}{10}=5$\\

Tylko $x_{2}$ należy do dziedziny.

\linespread{3}
\item Wyliczamy iloraz ciągu:\\
$q=\frac{x+3}{x-3}=\frac{8}{2}=4$\\

\item Pozostało uzasadnić podaną nierówność. Ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
$$\frac{ S_{19} }{ S_{20} }=\frac{2\frac{1-4^{19}}{1-4}}{2\frac{1-4^{20}}{1-4}}=\frac{1-4^{19}}{1-4^{20}}$$

\item Przekształcenie podanej w zadaniu nierówności:
$$\frac{1-4^{19}}{1-4^{20}}<\frac{1}{4}$$
$$4-4^{20}<1-4^{20}$$
$$4>1$$
Otrzymaliśmy prawdziwą nierówność, więc nierówność $\frac{ S_{19} }{ S_{20} }<\frac{1}{4}\quad$ jest prawdziwa.

\end{enumerate}



\textbf {Odpowiedź}:\\ \\
Iloraz ciągu wynosi 4.

\end{document}