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\begin{document}

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\section*{Introdução}

A priori, definiremos a inclinação de uma reta.

Considere uma reta horizontal $s$ e outra reta $r$, que se interceptam em um ponto $O$ formando dois angulos: $\alpha$ (não nulo) e $\beta = 180^\circ-\alpha$.

%**(grafico 01)

%**(Quiz 01)

A inclinação da reta $r$ em relação a $s$ é dada pelo menor destes angulos.



Um aspecto importante visto na equação reduzida de uma reta é a relação existente entre o seu coeficiente angular e a sua inclinação. Vejamos:

%**(grafico 02)

Supondo que $\theta \neq \frac{\pi}{2} + k \pi, k \in\mathbb{Z}$, então
\begin{eqnarray}\label{equacaoum}
\tan(\theta) = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{x-x_A}=m
\end{eqnarray}

$$\frac{y-y_A}{x-x_A}=m \Rightarrow y-y_A=mx-mx_A \Rightarrow y=mx-mx_B+y_A$$

Observe que os coeficientes de $x$ e $y$ são, respectivamente, $m$ e $1$, que $-mx_B+y_A$ é um escalar (número) e o seu resultado é $n$. Então, a equação pode ser reescrita como:
$$y=mx+n.$$

Esta é conhecida como a equação reduzida da reta $r$. Por causa da relação em (\ref{equacaoum}), $m$ é chamado coeficiente
angular e $n$ coeficiente linear.




\section*{Derivadas}

Definição: Seja $f$ uma função real definida na vizinhança de um ponto $x \in \mathbb{R}$. A derivada de $f$ em um
ponto $x_0$ é dado por:

%*(grafico 04)

Caso este limite exista!

Nosso objetivo agora não é ir a fundo no conceito de derivadas e de função derivada, e sim que você possa compreender a definição de derivadas por meio de uma interpretação geométrica.

Quem é o coeficiente angular de $S$ na figura a seguir?

% Applet

$$a_S= \frac{y_A-y_B}{x_B-x_A}$$


Temos os pontos $A$ e $B$ pertencentes simultaneamente aos gráficos de $S$ e de $T$, então

$$f(x_A)=y_A \mbox{ e } f(x_B)=y_B.$$
Assim,
$$a_S= \frac{f(x_A)-f(x_B)}{x_B-x_A}.$$


Considere dois pontos distintos $A$ e $B$ sobre o gráfico de uma função definida em um intervalo $[a,b]$ e derivável
em $]a,b[$. O ponto $A(x_A,f(x_A))$ é fixo, enquanto $B(x_B,f(x_B))$ é móvel. Considere, ainda, a reta secante, que passa
por $A$ e $B$ e a tangente ao gráfico da função $f$ no ponto $A$, respectivamente, $s$ e $t$.


%*(grafico 05)


Desloque o ponto $x_B$, na figura acima, a fim de que ele se aproxime de $x_A$, mas não toque em $x_A$.


Isto nos motiva a dizer que:

Quanto mais os valores de $x_B$ se aproximam dos valores de $x_A$, o coeficiente angular da reta secante tende a se aproximar do coeficiente angular da reta tangente. Matematicamente:
$$a_S \rightarrow a_T,$$
ou seja,
$$\displaystyle \lim_{x_B\to x_A} \frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}.$$




Mas, este limite não é a definição que acabamos de ver? (a derivada em $x_A$?)

Ou seja, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função $f$ no ponto $x_A$ é a derivada de $x$ em $x_A$.


\end{document}