PL 7 Introducción a la derivada
Author:
MSc. Fausto M. Lagos S.
Last Updated:
5 yıl önce
License:
Creative Commons CC BY 4.0
Abstract:
Template for the class PL 7.
\begin
Discover why 18 million people worldwide trust Overleaf with their work.
Template for the class PL 7.
\begin
Discover why 18 million people worldwide trust Overleaf with their work.
%-----------------------Homework------------------------------------
%-------------------Arman Shokrollahi---------------------------------
%---------------------Coding Theory-------------------------------
\documentclass[a4 paper]{article}
% Set target color model to RGB
\input{preamble.tex}
\tikzset{ArrowStyle/.append style={>=stealth, gray!75!cyan}}
\begin{document}
\homework{Plan Lector \#7}{Julio. 18 al 02 de Agosto de 2019}{MSc. Fausto M. Lagos S.}{}{Aquí va su nombre}{}
En este plan lector se desarrollarán tres planteamientos el primero correspondiente a tres puntos, el segundo a tres puntos y el tercero a cuatro puntos. Puede utilizar todo el material bibliográfico a su disposición y también preguntar todo lo que considere necesario. Preste atención al margen derecho donde encontrará premios y bonificaciones adicionales.
\vspace{5mm}
\problem{1} \textbf{3 puntos} \marginnote{\includegraphics[scale = 1]{overleaf}} Del Calculo de Zill lea el apartado \textcolor{blue}{Funciones implícitas y explícitas} (pág. 157) y resuelva cualquiera de los ejercicios 53 a 56 de la página 161. (\textit{La correspondiente gráfica debe desarrollarla con el paquete TikZ})
\vskip 3mm
\solution{}
\vspace{20mm}
\problem{2} \textbf{3 puntos} - Del Calculo de Zill lea el \textcolor{blue}{\textbf{Teorema 3.7.4} Derivada de una función inversa} (pág. 163) y resuelva el ejercicio 43 de la página 167.
\vskip 3mm
\solution{}
\vspace{20mm}
\problem{3} \textbf{4 puntos} - \emph{Derivación logarítmica:} Alguna veces dada una función $u$, para determinar $D_x[u]$ es más fácil hacerlo a través de $D_x[\ln(u)]$. En general, siendo $u$ una función de $x$ se tiene
\[
D_x[\ln (u)] = \frac{u'}{u}
\]
Un ejemplo simple, para determinar la derivada de $u = a^x$ puede procederse así:
\begin{NodesList}
\begin{align*}
D_x[u &= a^x] \AddNode \\
D_x[\ln u &= \ln a^x] \AddNode \\
D_x[\ln u] &= D_x[x\ln a] \AddNode \\
\frac{u'}{u}&= \ln a \AddNode \\
u' &= u\ln a \AddNode \\
D_x[a^x] &= a^x\ln a \AddNode
\end{align*}
\LinkNodes[margin = 5cm]{\begin{minipage}{6cm}Aplicar $\ln$ a ambos lados de la igualdad\end{minipage}}
\LinkNodes[margin = 5cm]{\begin{minipage}{6cm}Aplicar propiedad de logaritmos\end{minipage}}
\LinkNodes[margin = 5cm]{\begin{minipage}{4cm}Resolver la derivada\end{minipage}}
\LinkNodes[margin = 5cm]{\begin{minipage}{4cm}Despejar $u'$\end{minipage}}
\LinkNodes[margin = 5cm]{\begin{minipage}{4cm}Sustituir $u = a^x$\end{minipage}}
\end{NodesList}
Como puede observarse el procedimiento consiste en aplicar $\ln$, aplicar las propiedades del logaritmo y derivar. Veamos el método aplicado en un segundo ejemplo en el que se busca obtener la derivada de $v = x^x$.
\begin{NodesList}
\begin{align*}
D_x[v &= x^x] \AddNode \\
D_x[\ln v &= \ln x^x] \AddNode \\
D_x[\ln v] &= D_x[x\ln x] \AddNode \\
\frac{v'}{v} &= \ln x + 1 \AddNode \\
v' &= v(\ln x + 1) \AddNode \\
D_x[x^x] &= x^x(\ln x + 1) \AddNode
\end{align*}
\LinkNodes[margin = 5.5cm]{Aplicar $\ln$ a ambos lados de la igualdad}
\LinkNodes[margin = 5.5cm]{Aplicar propiedad de los logaritmos}
\LinkNodes[margin = 5.5cm]{Derivar, a la derecha usando regla del producto}
\LinkNodes[margin = 5.5cm]{Despejar $v'$}
\LinkNodes[margin = 5.5cm]{Sustituir $v = x^x$}
\end{NodesList}
Utilice el método de derivación algorítmica para encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva dada.
\[
y = \sqrt{x(x + 4)}
\]
\vskip 3mm
\solution{}
\end{document}