Guía de matemáticas.
Author
Neilluj
License
Creative Commons CC BY 4.0
Abstract
Una guía de matemáticas básicas.
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\begin{document}
\title{Guía de matemáticas.}
\date{\today}
\author{Héctor.}
\maketitle
\section{?`Cuales son los n\'umeros naturales?}
Los n\'umeros naturales son usados para contar (por ejemplo, "hay cinco monedas en la mesa") o para imponer un orden (por ejemplo, "Esta es la tercera ciudad mas grande del pais"). En el lenguaje comun , estos dos usos de los n\'umeros naturales se distinguen por el uso de los n\'umeros cardinales o de los n\'umeros ordinales.\\
No existe ning\'un acuerdo universal acerca de cuando incluir al cero en el conjunto de los numeros naturales.Algunos autores consideran que los números naturales comienzan en 0 , es decir 0, 1, 2, 3, \dots, mientras que otros autores comienzan con el 1, consideran a los numeros naturales como el conjunto de los \textbf{enteros positivos} 1,2,3,\dots, .\\
Los numeros naturales se denotan con simbolo $\mathbb{N}$.\\
Las propiedades de los numeros naturales , tales como la \textbf{divisibilidad} y la distribuci\'on de los \textbf{numeros primos}, son estudiadas en la \textbf{teor\'ia de numeros}. Los problemas que tiene que ver con el conte\'o y el orden, tales como el partir o enumerar son estudiadas en la combinator\'ia.\\
Los n\'umeros naturales son la base de todos los dem\'as tipos de n\'umeros: los enteros, los n\'umeros racionales, los n\'umeros reales, \ldots, etc.
\section{?`Cuales son los n\'umeros enteros?}
Un entero es un n\'umero que puede ser escrito sin parte fraccionaria (por ejemplo, 21, 4, 0 y 2015 son enteros, en cambio 9.75, $5^{\frac{1}{2}}$, $\sqrt{2}$ y $\pi$ no lo son).\\
El conjunto de los enteros consiste de el cero (0), los n\'umeros naturales $(1, 2, 3, \ldots)$ y sus \textbf{inversos aditivos} (los \textbf{enteros negativos}, es decir, $-1, -2, -3, \dots$). Estos son denotados por el s\'imbolo $\Z$ que viene de el alem\'an Zahlen que significa n\'umero.
\section{?`Cuales son los n\'umeros primos y cuales son los n\'umeros compuestos?}
Un \textbf{n\'umero primo } (o un \textbf{primo}) es un \textbf{n\'umero natural} mayor que 1 que no tiene \textbf{divisores} positivos (un \textbf{divisor} de un \textbf{entero} $n$, tambi\'en llamado un \textbf{factor} de $n$, es un entero que puede ser multiplicado por otro entero para producir $n$.) distintos de 1 y el mismo. Por ejemplo, 5 es primo porque 1 y 5 son los \'unicos factores enteros positivos. Existe un n'umero infinito de primos, esto fue demostrado por \textbf{Euclides} por el año 300 BC.\\
Un n\'umero natural mayor que 1 que no es un n\'umero primo es llamado un \textbf{n\'umero compuesto}. Por ejemplo 6 es un número compuesto porque tiene como divisores a 2 y a 3 aparte de 1 y 6.
\section{?`Cuales son los n\'umeros racionales?}
Un \textbf{n\'umero racional} es cualquier n\'umero que se puede expresar como cociente o fracci\'on $\frac{p}{q}$ de dos enteros, $p$ y $q$, con denominador $q\neq 0$ distinto de cero. Como $q$ puede ser igual a 1, todo número entero es un n\'umero racional. El conjunto de todos los n\'umeros racionales es denotado por el Simbolo $\Q$.
La \textbf{expansión decimal} de un número racional siempre termina o comienza repetir la misma secuencia finita de números una y otra vez despues de un número finito de digitos. Ademas, cualquier expresión decimal que termina o se repite representa un n\'umero racional. Existen n\'umeros que no son racionales por ejemplo $\sqrt[2]{2}, \pi, \mathrm{e}$.
\section{Suma, multiplicaci\'on y divisi\'on de fracciones.}
\subsection{Suma.}
Dados dos n\'umeros expresados en forma de fraci\'on. $$\frac{a}{b}, \frac{c}{d}$$ Se define su suma como:
$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+cb}{bd}$$\\
\textbf{Ejemplo:}\\
Calcular la siguiente suma $$\frac{3}{5}+\frac{2}{7}=$$
En este caso $a=3, b=5, c=2, d=7$ de esta forma.
$$\frac{3}{5}+\frac{2}{7}=\frac{(3)(7)+(2)(5)}{(5)(7)}$$\\
\textbf{Ejemplo:}\\
Calcular la siguiente suma:
$$\frac{2}{3}+5=$$
En este observamos que $1=\frac{(3)}{(3)}, 5=\frac{5}{1}$, entonces
$$5=(5)(1)=(5)(\frac{3}{3})=(\frac{5}{1})(\frac{3}{3})=\frac{(5)(3)}{(1)(3)}$$
$$5=\frac{15}{3}$$
\subsection{Multiplicaci\'on.}
Dados dos n\'umeros expresados en forma de fraci\'on. $$\frac{a}{b}, \frac{c}{d}$$ Se define su multiplicaci\'on como:
$$(\frac{a}{b})(\frac{c}{d})=\frac{(a)(c)}{(b)(d)}$$\\
\textbf{Ejemplo:}\\
Calcular la siguiente multiplicaci\'on de fracciones $$(\frac{3}{5})(\frac{2}{7})=$$
En este caso $a=3, b=5, c=2, d=7$ de esta forma.
$$(\frac{3}{5})(\frac{2}{7})=\frac{(3)(2)}{(5)(7)}=\frac{6}{35}$$\\
\textbf{Ejemplo:}\\
Calcular la siguiente multiplicación:
$$(\frac{2}{3})(5)=$$
En este observamos que $1=\frac{(3)}{(3)}, 5=\frac{5}{1}$, entonces
$$5=(5)(1)=(5)(\frac{3}{3})=(\frac{5}{1})(\frac{3}{3})=\frac{(5)(3)}{(1)(3)}=\frac{15}{3}$$
entonces
$$(\frac{2}{3})(5)=(\frac{2}{3})(\frac{15}{3})=\frac{(2)(15)}{(3)(3)}=\frac{30}{9}=\frac{10}{3}$$
\subsection{Divisi\'on.}
Dados dos n\'umeros expresados en forma de fraci\'on. $$\frac{a}{b}, \frac{c}{d}$$ Se define su división\'on como:
$$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{(a)(d)}{(b)(c)}$$\\
\textbf{Ejemplo:}\\
Calcular la siguiente divisi\'on de fracciones $$\frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{7}}=$$
En este caso $a=3, b=5, c=2, d=7$ de esta forma.
$$\frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{7}}=\frac{(3)(7)}{(5)(2)}=\frac{21}{10}$$\\
\textbf{Ejemplo:}\\
Calcular la siguiente divisi\'on:
$$(\frac{2}{3})\div(5)=$$
En este observamos que $1=\frac{(3)}{(3)}, 5=\frac{5}{1}$, entonces
$$5=(5)(1)=(5)(\frac{3}{3})=(\frac{5}{1})(\frac{3}{3})=\frac{(5)(3)}{(1)(3)}=\frac{15}{3}$$
entonces
$$(\frac{2}{3})\div(5)=(\frac{2}{3})\div(\frac{15}{3})=\frac{(2)(3)}{(3)(15)}=\frac{6}{45}=\frac{2}{15}$$
\section{?`Que es un polinomio?}
Un \textbf{polinomio} es una expresi\'on que consiste de \textbf{incognitas (indeterminadas)} y de \textbf{coeficientes}, que involucran solo las operciones de suma, resta, multiplicación y exponentes enteros no negativos. Un ejemplo de un polinomio de una sola incognita (o indeterminada), $x$, es $x^2-4x+7$.
\section{?`Que es un monomio?}
De forma muy general un \textbf{monomio} es un polinomio con un solo termino, por ejemplo. Si solo se considera una variable $x$, esto significa que un monomio sera 1 o una potencia $x^n$ multiplicada por algún n\'umero. por ejemplo $3x^2$.
\section{Suma, resta y multiplicación de monomios}
\subsection{Suma de monomios.}
Sólo se pueden sumar o restar los monomios semejantes.
El resultado se obtiene sumando o restando sus coeficientes.\\
\textbf{Ejemplo:}
$$5x^2 y^3 + 8x^2 y^3 - 3x^2 y^3 = 10x^2 y^3 $$
Si los monomios no son semejantes, el resultado de la suma o resta es un polinomio.
\subsection{Producto de monomios.}
Dos monomios se pueden multiplicar, efectuando el producto de los coeficientes y de las partes literales, respectivamente.
\textbf{Ejemplos:}
$$(6x^3) \cdot (-4x^3) = -24x^6$$
$$\left( 4x^2 \right) \cdot \left( 8x^3y \right) = 32x^5y$$
$$\left( 5a^2b^3 \right) \cdot \left( -3ab \right) \cdot \left( 4b^2 \right) = -60a^3b^6$$
$$\left( \frac{3}{4}x^2y^3 \right) \cdot \left( \frac{2}{3}xy \right) \cdot \left( \frac{30}{48}x^5 \right) = \frac{5}{16}x^8y^4$$
\subsection{Cociente de dos monomios}
El cociente de dos monomios será otro monomio sólo cuando la parte literal del dividendo es múltiplo de la parte literal del divisor.\\
\textbf{Ejemplos:}
$$\frac{7x^2y}{2xy}= \frac{7}{2} x$$
sí es un monomio porque: $x^2 y$, es múltiplo de $xy$;
$$\frac{7x^2y}{2xyz} = \frac{7x}{2z} = \frac{7}{2} \; \frac{x}{z} = \frac{7}{2} x z^{-1}$$
\section{Suma, resta y multiplicación de polinomios}
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes.\\
\textbf{Ejemplo:}\\
Sean los polinomios: $P(x) = (2x_{}^2+4x+1)$ y $Q(x)_{}^{} = (5x^2+3)$, entonces la suma de $P(x)$ y $Q(x)$ es:
$$P(x)-Q(x)=2x^2+5x^2+4x+1+3$$\\
Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.\\
\textbf{Ejemplo:}\\
Sean los polinomios: $P(x) = (2x_{}^3+4x+1)$ y $Q(x)_{}^{} = (5x^2+3)$, entonces su producto es:
$$P(x)Q(x)_{}^{} = (2x_{}^3+4x+1)(5x^2+3) = (2x_{}^3+4x+1)(5x^2) + (2x^3+4x+1)(3)= (10x_{}^5 + 20x^3 + 5x^2) + (6x^3+12x+3)= 10x_{}^5 + 26x^3 + 5x^2 + 12x + 3$$
\section{Operaciones con los exponentes.}
\subsection{Propiedades b\'asicas}
Si $a$ es un número positivo y $b,c$ son enteros, entonces se tienen las siguientes identitades:
\begin{enumerate}
\item $a^{b^c}=(a^b)^c=a^{bc}$
\textbf{Ejemplo:}
$3^{4^2}=(3^4)^2=3^{(4)(2)}=3^8==6561$
\item Sean $a,b$ números no negativos y $c,d$ numeros enteros, entonces$$ \frac{a^c}{b^d}=(a^c)(b^{-d})$$\\
\textbf{Ejemplo:}\\
$$\frac{x^4}{x^3}=(x^4)(x^{-3})=x^{4-3}=x$$
\end{enumerate}
\end{document}