Nesse artigo, propomos uma nova demonstração do Teorema de Weierstrass, usando apenas noções relativas às séries de Fourier.
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\begin{document}
\title[FUNÇÃO DE WEIERSTRASS] {FUN\c{C}\~{A}O DE WEIERSTRASS}
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\author[ARMAND AZONNAHIN ] {ARMAND AZONNAHIN }
\address{Mathematics Department, UFRGS\\
Porto Alegre {\rm }, Brazil}
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\received{\recd 25 March 2015. \revd 21 May 2015}
\maketitle
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\begin{abstract}
\end{abstract}
%\section{Introduction}
Defini\c{c}\~{a}o : \\
A fun\c{c}\~{a}o de Weierstrass \'{e} definida pela seguinte s\'{e}rie de Fourier :\\
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a^n\cos(b^n\pi x)$,
onde $a\in(0,1)$ e $b$ \'{e} um inteiro positivo \'{i}mpar tal que
$ab>1+\frac{3}{2}\pi$ .\\
Nova Demonstra\c{c}\~{a}o do Teorema de Weierstrass :\\
O nosso objetivo aqui \'{e} apresentar uma demonstra\c{c}\~{a}o do teorema de Weierstrass
usando apenas no\c{c}\~{o}es relativas \`{a}s s\'{e}ries de Fourier.\\
Teorema de Weierstrass :\\
A fun\c{c}\~{a}o dita de Weierstrass definida por :
$W(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b^n\cos(a^n\pi x)$,
onde $b\in(0,1)$ e $a$ \'{e} um inteiro positivo \'{i}mpar tal que
$ab>1+\frac{3}{2}\pi$ , \'{e} cont\'{i}nua em $R$ e n\~{a}o diferenci\'{a}vel em qualquer ponto.
\\
Demonstra\c{c}\~{a}o do Teorema de Weierstrass : \\
Continuidade de $ W$ :\\
Observe que :
$b\in(0,1)$ implica $\sum_{n=0}^{\infty}b^n=\frac{1}{1-b}<\infty $.
Isso junto com $sup_{x\in R} |b^n\cos(a^n\pi x)|\leq b^n$ nos permite estabelecer , usando o Weierstrass $M-test$ , que $\sum_{n=0}^{\infty}b^n\cos(a^n\pi x)$ converge uniformemente para $W(x)$ em $R$ . \\
A Continuidade de $W$ vem ent\~{a}o da converg\^{e}ncia uniforme das s\'{e}ries.\\
(Defini\c{c}\~{a}o $2.41$ e Teorema $2.59$ do livro Harmonic Analysis:From Fourier to Wavelets) \\
N\~{a}o Diferenciabilidade de $W$ (em qualquer ponto) :\\
Aqui, usamos os lemas $3.2$ e $3.3$ do Cap\'{i}tulo $4$ do livro de ''Shakarchi''\\
Quando:
$2N=b^n$, ent\~{a}o
$ \Delta_{2N}(W)-\Delta_{N}(W)=b^n\cos(a^n\pi x)$;
Supondo que $W$ \'{e} diferenci\'{a}vel em $x_{0}$, obtemos o seguinte resultado :
$ \Delta_{2N}(W)'(x_{0})-\Delta_{N}(W)'(x_{0})=(b^n\cos(a^n\pi x))'=O(\log N)$,
ou seja,
$|(ab)^{n}sen(a^{n}(x_{0}+h))|=O(\log N)$, onde $|h|\leq c/N$.
Para obter a contradi\c{c}\~{a}o, precisamos apenas escolher $h<$ de modo que:
$|sen(a^{n}(x_{0}+h))|=1$;
Tomando:
$|h|=|\delta|/a^{n}$,
onde
$\delta=\pi(k+1/2)-a^{n}x_{0}$,
para algum $k\in Z$, temos:
$|(ab)^{n}sen(a^{n}(x_{0}+h))|=(ab)^{n}\rightarrow \infty $
quando $n\rightarrow \infty $ ,
pois
$ab>1+\frac{3}{2}\pi$ .
''Contradi\c{c}\~{a}o'', \\
pois :
$|(ab)^{n}sen(a^{n}(x_{0}+h))|=O(\log N)$.\\
Portanto, $W$ n\~{a}o \'{e} diferenci\'{a}vel em $x_{0}$ .
Como $x_{0}\in R$ \'{e} arbitr\'{a}rio,
temos que$W$ n\~{a}o \'{e} diferenci\'{a}vel em qualquer ponto.\\
Conclus\~{a}o :\\
A fun\c{c}\~{a}o de Weierstrass $W$ \'{e} cont\'{i}nua em todos os pontos de
$R$ mas n\~{a}o \'{e} diferenci\'{a}vel em qualquer ponto de $R$.\\
Refer\^{e}ncias :
*Harmonic Analysis:from Fourier
to Wavelets / Mar\'{i}a Cristina Pereyra ,\\ Lesley A. Ward / ISBN 978-0-8218-7566-7 \\
*Fourier Analysis:An introduction /Shakarchi; pp 116-117
\end{document}