Az integritástartományokban definiált oszthatósági reláció néhány tulajdonsága. (Az SZTE matematika alapszak Algebra és számelmélet (MBNK13) kurzusához házi feladat.)
\begin
Discover why over 20 million people worldwide trust Overleaf with their work.
\documentclass[a4paper,12pt]{amsart}%
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{nopageno}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\newtheorem{theorem}{Theorem}
\newtheorem*{tetel}{T\'etel}
\renewcommand{\proofname}{Biz.}
\addtolength{\textwidth}{4cm}
\addtolength{\hoffset}{-2cm}
\addtolength{\textheight}{3cm}
\addtolength{\voffset}{-3cm}
\newcommand{\idemitirjak}{\makebox[3cm]{\dotfill}}
\begin{document}
\renewcommand{\baselinestretch}{2.0}
Legyen $(R;+,\cdot)$ egy tetszőleges integritástartomány.
Bármely $a,b \in R$ esetén azt mondjuk, hogy $a$ osztója $b$-nek,
ha van olyan $c\in R$ elem, amelyre $b=ac$. Formálisan:
\[
a \mid b \iff \exists c \in R \colon b=ac.
\]
Az alábbiakban az oszthatósági reláció néhány tulajdonsága olvasható.
Töltse ki a hiányzó részeket, és indokolja meg a bizonyítások lépéseit.
Az indoklásoknál (mindig a \emph{mert} szó utáni rész)
az integritástartomány definíciójában szereplő kilenc műveleti tulajdonság
valamelyikére kell hivatkozni (pl. az összeadás asszociativitása,
zérusosztómentesség, stb.)
\begin{tetel}
Az oszthatóság reflexív reláció: $\forall a \in R \colon a \mid a$.
\end{tetel}
\begin{proof}
Azt kell belátnunk, hogy van olyan $c \in R$ elem, amelyre $a=\idemitirjak$.
Ilyen elem valóban létezik, mert \idemitirjak.
\end{proof}
\begin{tetel}
Az oszthatóság tranzitív reláció:
$\forall a,b,c \in R \colon a \mid b \text{ és } b \mid c \implies \idemitirjak$.
\end{tetel}
\begin{proof}
Tegyük fel, hogy $a \mid b$ és $b \mid c$, vagyis léteznek olyan $u,v \in R$ elemek,
amelyekre $b=\idemitirjak$ és $c=\idemitirjak$. Ekkor $c=\idemitirjak$,
mert \idemitirjak, és ez igazolja az állítást.
\end{proof}
\begin{tetel}
A multiplikatív egységelem mindenkinek osztója: $\forall a \in R \colon 1 \mid a$.
\end{tetel}
\begin{proof}
Azt kell belátnunk, hogy van olyan $c \in R$ elem, amelyre $\idemitirjak$.
Világos, hogy a $c=\idemitirjak$ elem megfelelő lesz.
\end{proof}
\begin{tetel}
Az additív egységelem mindenkivel osztható: $\forall a \in R \colon a \mid 0$.
\end{tetel}
\begin{proof}
Azt kell belátnunk, hogy van olyan $c \in R$ elem, amelyre $\idemitirjak$.
Az e\-lő\-a\-dás\-váz\-lat\-ban szereplő 2.3.~Állítás szerint a
$c=\idemitirjak$ elem megfelelő lesz.
\end{proof}
\begin{tetel}
Bármely $a,b,c \in R$ esetén, ha $a \mid b$ és $a \mid c$, akkor $a \mid b+c$.
\end{tetel}
\begin{proof}
Tegyük fel, hogy $a \mid b$ és $a \mid c$, vagyis léteznek olyan $u,v \in R$ elemek,
amelyekre $\idemitirjak$ és $\idemitirjak$.
Ekkor $b+c=\idemitirjak$, mert \idemitirjak. Ezzel beláttuk, hogy $a \mid b+c$.
\end{proof}
\end{document}