\begin
Discover why 18 million people worldwide trust Overleaf with their work.
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[serbian]{babel}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\title{DISKRETNE STRUKTURE 1\\Odgovori na pitanja za usmeni kod profesora Ž. Mijajlovića}
\author{Nikola Ajzenhamer\\Anja Bukurov \\Lektor: Ludi Burekdžija}
\date{2014}
\begin{document}
\maketitle
\pagebreak
\tableofcontents
\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% MATEMATICKA INDUKCIJA
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Matematička indukcija}
Matematička indukcija predstavlja važan i moćan metod za dokazivanje tvrđenja koja se odnose na prirodne brojeve. Ona proizilazi iz sledećeg svojstva skupa prirodnih brojeva N. Neka je $S \subseteq N$ i pretpostavimo da skup S ima sledeće dve osobine:\\
(1) $0 \in S$\\
(2) za svako $n$, ako $n \in S$ tada $n+1 \in S$\\
Tada S = N.\\
Zaista, prema (1) $0 \in S$, dok prema (2) tada i $1 \in S$. Opet primenjujući (2) nalazimo $2 \in S$ i tako redom $3, 4, ... \in S$, tj. $N \subseteq S$. S obzirom da je $S \subseteq N$, nalazimo S = N.\\
Pretpostavimo da je $\phi(n)$ formula koja se odnosi na prirodne brojeve (za takvu formulu ka\v zemo da je aritmeti\v cki iskaz) i neka je S = \{$n\in N | \phi(n)$\}, tj. S je skup svih onih prirodnih brojeva n za koje va\v zi $\phi(n)$. Tada se prethodna svojstva skupa S mogu preizraziti pomo\' cu formule $\phi(n)$ na slede\' ci na\v cin:\\
\subsection{Princip matemati\v cke indukcije}
Neka je $\phi(n)$ aritmeti\v cki iskaz. Pretpostavimo da za $\phi(n)$ va\v zi:\\
(1) $\phi(0)$ baza indukcije\\
(2) $∀n( \phi(n) \Longrightarrow \phi(n+1))$ induktivni korak\\\\
Tada je $\phi(n)$ istinito za svaki prirodan broj $n$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% OPERATORI SUMIRANJA I PROIZVODA
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Operatori sumiranja $\sum$ i proizvoda $\prod$}
$$\sum_{i=m}^{n} a_i =_{def} a_m + a_{m+1} + \ldots + a_{n-1} + a_n, m \leq n$$
$$\prod_{i=m}^{n} a_i =_{def} a_m \cdot a_{m+1} \cdot \ldots \cdot a_{n-1} \cdot a_n, m \leq n$$
Osobine:\\
\\
$
SUMIRANJE\\
(1) \sum_{i=1}^n \alpha a_i = \alpha \sum_{i=1}^n \\
(2) \sum_{i=1}^n (a_i + b_i) = \sum_{i=1}^n a_i + \sum_{i=1}^n b_i \\
(3) \sum_{i=1}^n = \sum_{i=1}^n \\
(4) \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{ij} = \sum_{j=1}^m \sum_{i=1}^n a_{ij} \\
\\
PROIZVOD\\
(1) \prod_{i=1}^n \alpha a_i = \alpha ^{n} \prod_{i=1}^n \\
(2) \prod_{i=1}^n (a_i \cdot b_i) = \prod_{i=1}^n a_i \cdot \prod_{i=1}^n b_i \\
(3) \prod_{i=1}^n = \prod_{i=1}^n \\
(4) \prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^m a_{ij} = \prod_{j=1}^m \prod_{i=1}^n a_{ij} \\
$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ALGEBARSKI IDENTITETI, BINOMNA ...
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Algebarski identiteti, binomna formula, asocijativni i komutativni zakoni}
Algebarski identiteti su formule oblika u = v, gde su u i v algebarski izrazi (termi). Algebarski identitet u = v je tačan ili istinit u nekoj algebarskoj strukturi akko se za zadate vrednosti učestvujućih promenljivih u termima u i v vrednosti u i v terma poklapaju.\\
Primeri:\\
$(x+y)^2=x^2 + 2xy + y^2$\\
$x^2 - y^2= (x-y)(x+y)$\\
\vdots
\\
\subsection{BINOMNA FORMULA}
$$(x+y)^n =_{def} \sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right) x^{n-k}y^k =
x^{n} + \left(\begin{array}{c}n\\1\end{array}\right) x^{n-1}y^1 + \ldots + \left(\begin{array}{c}n\\n-1\end{array}\right) x^1y^{n-1} + y^n
$$
\\
Binomni\ koeficijenti: $C^n_k = \left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$; $\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}n\\n-k\end{array}\right)$
\\
\\
\begin{tabular}{lc}
ASOCIJATIVNI ZAKONI: $(x+y)+z = x+(y+z)$ & redosled izra\v cunavanja\\
KOMUTATIVNI ZAKONI: $x+y = y+x$ & ne uti\v ce na rezultat
\end{tabular}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% NEJEDNAKOST IZMEDJU ARITMETICKE...
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Nejednakost izmedju aritmeti\v cke i geometrijske sredine}
n=2:\\
$
\sqrt{a_1a_2} \le \frac{a_1+a_2}{2} \hspace{1cm} x = \sqrt{a_1}, y=\sqrt{a_2}\\
\\
x, y:\\
(x-y)^2 \ge 0\\
x^2 - 2xy + y^2 \ge 0\\
x^2 + y^2 \ge 2xy\\
a_1 + a_2 \ge 2\sqrt{a_1}\sqrt{a_2} /: 2\\
\frac{a_1 + a_2}{2} \ge \sqrt{a_1a_2}
$\\
n=4:\\
$
\sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4} \le \frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}\\
\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4} = \frac{\frac{a_1+a_2}{2}+\frac{a_3+a_4}{2}}{2} \ge \sqrt{\sqrt{a_1a_2}\cdot\sqrt{a_3a_4}} \ge \sqrt[4]{a_1a_2a_3a_4}
$\\
$G(a_1, ..., a_n) \le A(a_1, ..., a_n) \Longrightarrow G(b_1, ..., b_n) \le A(b_1, ..., b_n)$\\
\\
$
\frac{b_1 + b_2 + ... + b_{2n}}{2n} = \frac{\frac{b_1 + ... + b_n}{n}+\frac{b_{n+1} + ... + b_{2n}}{n}}{2} \ge \frac{\sqrt[n]{b_1\cdot...\cdot b_n} + \sqrt[n]{b_{n+1}\cdot...\cdot b_{2n}}}{2} \ge \sqrt{\sqrt[n]{b_1\cdot...\cdot b_n}\cdot\sqrt[n]{b_{n+1}\cdot...\cdot}b_{2n}} = \sqrt[2n]{b1\cdot...\cdot b_{2n}}$\\
\\
Ovim smo dokazali nejednakost za sve brojeve n, oblika $n = 2^k; k \in \textbf{N}^+$.\\
\\
n=bilo koji broj koji nije oblika $2^k$:\\
$\exists m \in \textbf{N} \hspace{1cm} 2^{m-1} < n < 2^m$\\
$n+l=2^m$\\
Dati su nam brojevi $a_1, ..., a_n$\\
$a_{n+1} = a_{n+2} = ... = a_{2^m} = \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$\\
$
2^m:\\
\sqrt[2^m]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n \cdot a_{n+1} \cdot ... \cdot a_{2^m}} \le \frac{a_1 + ... + a_n + a_{n+1} + ... + a_{2^m}}{2^m}\\
\sqrt[2^m]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n \cdot (\frac{a_1 + ... + a_n}{n})^l} \le \frac{n\cdot(\frac{a_1 + ... + a_n}{n}) + l\cdot(\frac{a_1 + ... + a_n}{n})}{2^m} /^{2^m}\\
a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n \cdot (\frac{a_1 + ... + a_n}{n})^l \le ( \frac{(n+l)(\frac{a_1 + ... + a_n}{n})}{2^m} )^{2^m}\\
a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n \cdot (\frac{a_1 + ... + a_n}{n})^l \le (\frac{a_1 + ... + a_n}{n})^{n+l}\\
a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n \le (\frac{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}{n})^n /^{\sqrt[n]{\hspace{2px}}}\\
\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n} \le \frac{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}{n}
$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% REKURZIVNE DEFINICIJE, FIBONACI...
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Rekurzivne definicije, Fibona\v cijev niz}
Pomoću matematičke indukcije mogu se definisati i uvoditi novi matematički objekti. Definicije u kojima se koristi indukcija nazivamo induktivnim ili rekurzivnim definicijama.\\
Fibonačijev niz je niz brojeva čiji su početni elementi $f_1 = 0, f_2 = 1$, a svaki sledeći broj u nizu dobija se sabiranjem prethodna dva: $f_n = f_{n-1} + f_{n-2}$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% LINEARNA DIFERENCNA JEDNACINA P...
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Linearna diferencna jedna\v cina prvog reda}
Jednačina oblika A(x)y' + B(x)y + C(x) = 0 koja deljenjem sa A(x) ≠ 0, postaje y' + P(x)y + Q(x) = 0 naziva se linearna diferencna jednačina prvog reda. Ukoliko je funkcija Q(x)=0, linearna diferencna jednačina se naziva homogenom.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% ISKAZNA ALGEBRA
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Iskazna algebra}
Iskazna algebra ili račun iskaza je dvoelementni skup {0,1}, zajedno sa jednom unarnom i pet binarnih operacija. Služi za utvrđivanje tačnosti nekog iskaza.\\
p, q, r, ... su iskazna slova (promenljive čije su vrednosti matematički izrazi)\\
$\wedge, \vee, \Longrightarrow, \neg, \Longleftrightarrow, \veebar$ su iskazni veznici\\
Operacije su definisane iskaznim tablicama:\\
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$\wedge$&0&1\\
\hline
0&0&0\\
\hline
1&0&1\\
\hline
\end{tabular}
\vspace{1cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$\vee$&0&1\\
\hline
0&0&1\\
\hline
1&1&1\\
\hline
\end{tabular}
\vspace{1cm}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\multicolumn{2}{|l|}{$\neg$} \\
\hline
0&1\\
\hline
1&0\\
\hline
\end{tabular}
\vspace{1cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$\Longrightarrow$&0&1\\
\hline
0&1&1\\
\hline
1&0&1\\
\hline
\end{tabular}
\vspace{1cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$\Longleftrightarrow$&0&1\\
\hline
0&1&0\\
\hline
1&0&1\\
\hline
\end{tabular}
\vspace{1cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$\veebar$&0&1\\
\hline
0&0&1\\
\hline
1&1&0\\
\hline
\end{tabular}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% DEFINICIJA ISKAZNIH FORMULA
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Definicija iskaznih formula}
\begin{flushleft}
(1) 0, 1 su iskazne formule\\
(2) iskazne promenljive p, q, r, ... su iskazne formule\\
(3) ako su A i B iskazne formule, tada su i $\neg$A, A $\wedge$ B, A $\vee$ B, A $\Longrightarrow$ B, A $\Longleftrightarrow$ B i A $\veebar$ B iskazne formule.\\
(4) svaka iskazna formula dobija se primenom prethodna tri pravila\\
\end{flushleft}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TAUTOLOGIJE - METODE DOKAZIVANJ...
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Tautologije - metode dokazivanja i primeri}
Iskazna formula A (p, q, r, ...) je tautologija akko za sve vrednosti p=$\alpha$, q=$\beta$, r=$\gamma$, ... ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$ $\in \{0, 1\}$), vrednost A je 1, odn. A ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$, ...) ≡ 1.\\
Metode dokazivanja: tablični metod, metod diskusije po iskaznom slovu, metod tabloa, metod svođenja na apsurd.\\
Primeri tautologija:\\
\\
p $\Longrightarrow$ p, p $\vee$ $\neg$p (princip isključenja trećeg), (p $\wedge$ q) $\wedge$ r $\Longleftrightarrow$ p $\wedge$ (q $\wedge$ r) (asocijativnost konjukcije), (p $\wedge$ q) $\Longleftrightarrow$ (q $\wedge$ p) (komutativnost konjukcije), $\neg$$\neg$p $\Longleftrightarrow$ p, $\neg$(p$\wedge$q) $\Longleftrightarrow$ $\neg$p $\vee$ $\neg$q, $\neg$(p$\vee$q) $\Longleftrightarrow$ $\neg$p $\wedge$ $\neg$q (de Morganovi zakoni)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TEOREMA O DISJUNKTIVNOJ NORMALN...
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Teorema o disjunktivnoj normalnoj formi}
Literal je p ili $\neg$p. Atom je konjukcija literala. Disjunktivna normalna forma (DNF) je disjunkcija atoma A.\\
Formula F je u DNF, ako je F = A1 $\vee$ A2 $\vee$ ... $\vee$ An ; A = $p_1^{\alpha_1}$ $\wedge$ $p_1^{\alpha_2}$ $\wedge$ ... $p_1^{\alpha_k}$ , p je iskazno slovo, $\alpha_1$, ..., $\alpha_k$ $\in \{0, 1\}$.
$$p^\alpha = \left\{\begin{array}{ll} p & \mbox{ako je}\hspace{5px}\alpha = 1 \\ \neg p & \mbox{ako je}\hspace{5px}\alpha = 0 \end{array}\right.$$
Teorema: Svaka iskazna formula ima SDNF. Razlika između DNF i SDNF je u tome da u SDNF u svakom atomu postoje svi literali te iskazne formule.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% KVANTORI
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Kvantori}
Kvantori su kvalifikatori u jeziku. Njihova semantika je:\\
$\forall$ - 'za svaki', univerzalni kvantor\\
$\exists$ - 'postoji', egzistencijalni kvantor\\
Uglavnom su vezani za promenljivu: $\forall$x, $\exists$x.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% DEFINICIJA PREDIKATSKOH FORMULA
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Definicija predikatskih formula}
\begin{flushleft}
*****\\
Neka je skup L jezik predikatskog računa. L = ConstL U FunL U RelL , pri čemu su ConstL skup simbola konstanti (\{0, 1, ...\}), FunL skup simbola algebarskih operacija (\{+, *, ...\}) i RelL skup simbola relacija (\{≤, $\sim$, ...\}).\\
*****\\
Termi (algebarski izrazi) se grade od simbola konstanti, operacija i relacija, npr. L = \{0, 1\} U \{+ ,*\} U \{≤\}.\\
(1) Promenljive (dodeljuju im se vrednosti iz domena) su termi i simboli konstanti su termi\\
(2) Ako su u i v termi, onda su u+v, u*v termi\\
(3) Svaki term dobija se konačnom primenom prethodna dva pravila\\
Atomične formule su: u = v, u ≤ v, ...\\
\end{flushleft}
Predikatske formule su:\\
(1) Atomične formule su predikatske formule\\
(2) Ako su $\phi$ i $\lambda$ predikatske formule, tada su i $\phi$ $\wedge$ $\lambda$, $\phi$ $\vee$ $\lambda$, $\neg$$\phi$, $\phi$ $\Longrightarrow$ $\lambda$, ... takođe predikatske formule\\
(3) Ako je $\phi$ formula, tada su i $\forall x \phi$ i $\exists x \phi$ takođe predikatske formule\\
(4) Svaka predikatska formula dobija se konačnom primenom prethodna 3 pravila\\
Primeri:\\
$\forall x\exists y (x+y=1)\\$
$\forall x(\neg x=0) \Longrightarrow \exists y(x\cdot y=1)$\\
$\exists x (x^2-2x+2=0)$\\
L ∪ \{1,2,3,…,-1,-2,-3,…\}=L'
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% POJAM VALUACIJE
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Pojam valuacije}
Valuacija je bilo koja funkcija koja skupu iskaznih primenljivih dodeljuje vrednosti 0 ili 1.\\
$\phi$(p1,…,pn)\\
$\phi$($\alpha 1$,…,$\alpha n$)\\
Valuacija je svako preslikavanje
$\alpha$ = $\left(\begin{array}{c}
p_1,\ldots,p_n\\
\alpha_1,\ldots,\alpha_n\\
\end{array}\right)$
$\alpha$ : P $\longrightarrow$ 2, gde je P skup iskaznih slova \{$p_1, p_2, ...$\}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% VALJANE FORMULE, PRIMERI
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Valjane formule, primeri}
Valjane formule su formule čija opšte važeća istinitost nije uslovljena načinom interpretacije nelogičkih simbola, već samoj logičkoj strukturi formule. Valjane formule izražavaju zakone ispravnog logičkog zaključivanja na jeziku relacijskih struktura.\\
Ako je formula A tačna u nekoj interpretaciji D, onda ona opisuje izvesno svojstvo strukture D. Međutim, ako je formula A tačna u svakoj interpretaciji, onda ona više ne opisuje svojstvo neke strukture, već opšte svojstvo svih struktura, tj. opšte pravilo zaključivanja. Takve formule, koje su tačne u svim interpretacijama nazivaju se opšte važećim formulama ili valjanim formulama.\\
Primeri:\\
$\neg$$\exists$x$\phi$(x) $\Longrightarrow$ $\forall$x $\neg$$\phi$(x)\\
$\neg$$\forall$x$\phi$(x) $\Longrightarrow$ $\exists$x $\neg$$\phi$(x)\\
$\neg$$\forall$x $\neg$$\phi$(x) $\Longrightarrow$ $\exists$x$\phi$(x)\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% TEORIJA ALGEBARSKIH POLJA
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Teorija algebarskih polja}
\begin{flushleft}
Teorija polja je matemati\v cka disciplina koja prou\v cava polja.
(1) (x + y) + z = x + (y + z) asocijativni zakon (u aditivnoj formi)\\
(2) x + y = y + x komutativni zakon\\
(3) x + 0 = 0 + x = x zakon neutralnog elementa\\
(4) x + (-x) = (-x) + x = 0 zakon suprotnog elementa\\
\hspace{2cm} \\
Svaka algebarska struktura \textbf{A} na kojoj su definisane algebarske operacije + i – i postoji konstanta 0, tj. \textbf{A} = (A, +, –, 0) i u kojoj važe identiteti (1) – (4) naziva se Abelovom ili komutativnom grupom. Skup A je domen algebre \textbf{A}, dakle skup na kojem su definisane operacije +, $\cdot$ i 0 $\in$ A.\\
\hspace{2cm}\\
Komutativni prsteni su algebre \textbf{A} = (A, +, –, $\cdot$, 0, 1) koje zadovoljavaju sledeće zakone:\\
\end{flushleft}
$(1)$ – $(4)\\
(5) (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)\\
(6) x \cdot y = y \cdot x\\
(7) x \cdot 1 = 1 \cdot x = x\\
(8)x \cdot (y + z) = (x \cdot y) + (x \cdot z)$ distributivni zakon\\
\begin{flushleft}
Uzimamo da je $x$ – $y =_{def} x + (-y)$\\
Polja su komutativni prsteni koji zadovoljavaju i ovu aksiomu:\\
$x≠0 \Longrightarrow \exists y (x \cdot y=1)$\\
ili $x≠0 \Longrightarrow x \cdot x^{-1}$ ako je uvedena operacija inverznog elementa.
\end{flushleft}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% OSNOVNE SKUPOVNE OPERACIJE, DEF...
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Osnovne skupovne operacije, definicije i osobine}
Skupovna operacija mo\v ze biti shva\' cena kao postupak kojim se skupu/skupovima pridružuje skup. Georg Kantor je 1873. godine formulisao koncept skupova:
$X = \{ a | \phi(a) \}$
Skupovne operacije su: unarna operacija, tzv. komplementiranje i četiri binarne, tzv. presek, unija, razlika i simetri\v cna razlika.
(1) Komplement skupa A, u oznaci $A^c$, je skup svih elemenata univerzalnog skupa koji ne pripadaju skupu A.
$$A^c = \{x \in U | x \notin A\}$$
(2) Presek skupova A i B, u oznaci $A \cap B$, je skup svih elemenata univerzalnog skupa koji pripadaju i skupu A i skupu B.
$$A \cap B = \{x \in U | x \in A \wedge x \in B\}$$
(3) Unija skupova A i B, u oznaci $A \cup B$, je skup svih elemenata univerzalnog skupa koji pripadaju skupu A ili skupu B.
$$A \cup B = \{ x \in U | x \in A \vee x \in B\}$$
(4) Razlika skupova A i B, u oznaci $A \backslash B$, je skup svih elemenata univerzalnog skupa koji pripadaju skupu A, a ne pripadaju skupu B.
$$A \backslash B = \{ x \in U | x \in A \wedge x \notin B\}$$
U op\v stem slu\v caju ne va\v zi jednakost $A \backslash B = B \backslash A$.\\
(5) Simetri\v cna razlika skupova A i B, u oznaci $A \triangle B$ je skup svih elemenata univerzalnog skupa koji pripadaju ili skupu A ili skupu B.
$$A \triangle B = \{ x \in U | x \in A \veebar x \in B\}$$
Uredjen par $(x, y) =_{def} \{ \{ x\}, \{ x, y \} \}$
\subsection{Osobine skupovnih operacija}
Za svaki skup A va\v zi:
\begin{itemize}
\item Idempotentnost: $A \cup A = A, A \cap A = A$
\end{itemize}
Za svaka dva skupa A i B va\v zi:
\begin{itemize}
\item Komutativnost: $A \cap B = B \cap A$, A i B va\v zi $A \cup B = B \cup A$
\end{itemize}
Za svaka tri skupa A, B, i C va\v zi:
\begin{itemize}
\item Asocijativnost: $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$, $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$
\item Distributivnost: $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) $,\\
$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
\end{itemize}
Osobine komplementa, univerzalnog skupa i praznog skupa:
\begin{itemize}
\item $(A^c)^c=A, A^c = U \backslash A, A \cup A^c = U, A \cap A^c = \oslash, \oslash^c=U, U^c = \oslash, (A \cap B)^c = A^c \cup B^c, (A \cup B)^c = A^c \cap B^c$
\item $A \cup U = U, A \cap U = A$
\item $A \cup \oslash = A, A \cap \oslash = \oslash$
\end{itemize}
\subsection{Beskona\v cne skupovne operacije}
$$A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n = \bigcup_{n \in \textbf{N}} A_n$$
$$A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n = \bigcap_{n \in \textbf{N}} A_n$$
$$x \in \bigcup_{n \in \textbf{N}} A_n \Longleftrightarrow (\exists n \in \textbf{N})x \in A_n$$
$$x \in \bigcap_{n \in \textbf{N}} A_n \Longleftrightarrow (\forall n \in \textbf{N})x \in A_n$$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% SKUPOVNI IDENTITETI, METODE DOK...
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Skupovni identiteti, metode dokazivanja}
Skupovni identiteti predstavljaju jednakost dva skupa. To su dobro zapisani izrazi u kojima u\v cestvuju skupovi $A, B, C, \ldots$, operacije $\cap, \cup, ^c, \ldots$
Formalna definicija skupovnog izraza (terma):
(1) $\oslash, A, B, C, \ldots$ su skupovni izrazi.
(2) Ako su u i v skupovni izrazi, onda su i $u \cap v, u \cup v, u^c, u\backslash v, u \triangle v$ skupovni izrazi.
(3) Svaki skupovni izraz dobija se primenom prethodna dva pravila.
Skupovni izraz L = D va\v zi akko vrednost od L jeste identi\v cki jednaka vrednosti od D za ma kakav izbor skupova (skupovne promenljive zameniti konkretnim skupovima).
Za svako proizvoljno x va\v zi $x \in L \Longleftrightarrow x \in D$, tj. L i D imaju iste elemente.\\
A = B akko za svako svojstvo $\phi$ va\v zi: $\phi(A)\Longleftrightarrow \phi(B)$ (jednakost po intenziji = zna\v cenju).
A = B akko A i B imaju iste elemente: $x \in A \Longleftrightarrow x \in B$ (jednakost po ekstenziji = obimu).
\subsection{Metode dokazivanja skupovnih jednakosti}
\hspace{1px}\\
(1) Dijagram za ograni\v cen broj skupova\\
(2) Tabele pripadnosti (svođenje na tabli\v cni metod dokazivanja tautologija)\\
(3) Dokaz izraza na osnovu definicija, aksioma, \ldots \\
(4) Metod karakteristi\v cnih funkcija
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% AKSIOME TEORIJE SKUPOVA
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aksiome teorije skupova}
Ove aksiome su naveli Rasel, Frenkel i Zermelov po\v cetkom 20. veka.
(A1) Ako su a, b skupovi, tada je \{a, b\} takodje skup.
(A2) Ako su a, b skupovi, tada su \{$a \cup b$\}, \{$a \cap b$\}, \ldots takodje skupovi.
(A3) Ako je a skup, tada je i $P(a) = \{X | X \subseteq a\}$ takodje skup i on se naziva Partitivni skup skupa a.
(A4) Prazan skup ($\oslash$) je takodje skup.
(A5) Aksioma beskona\v cnosti: Postoji skup X takav da u njemu le\v zi $\oslash$. Ako $y \in X$, tada $y' \in X$; $y' = y \cup \{y\}$.
(A6) Aksioma restrikcije: Ako je X skup, $\phi$ neko svojstvo, tada je i $Y = \{x \in X | \phi(x)\}$ takodje skup.
(A7) Ako je data disjunktna familija skupova, svi su neprazni, tada postoji X koji bira ta\v cno po jedan element iz svakog \v clana('relacija transferzale').
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% DEKARTOV PROIZVOD, OPERACIJA PA...
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Dekartov proizvod, operacija partitivnog skupa}
\subsection{Dekartov proizvod}
Ako su A i B skupovi, onda se skup uredjenih parova sa prvom koordinatom iz A, a drugom koordinatom iz B naziva Dekartov proizvod skupova A i B, i ozna\v cava se sa AxB:
$$A {\rm x} B =_{def} \{(a, b)|a \in A, b \in B\}$$
AxBxC = (AxB)xC
Va\v zi distributivnost Dekartovog proizvoda u odnosu na operacije presek, unija, ...: Ax(B $\cup$ C) = (AxB) $\cup$ (AxC)\\
Dekartov proizvod n skupova $A_1, \ldots, A_n$ u oznaci $A_1$x\ldots x$A_n$ ili
$$\prod_{i=1}^n A_i =_{def} \{ f:I \longrightarrow \bigcup_{i \in I} A_i | f(i) \in A_i, \forall i \in I \}$$
je skup svih uredjenih n-torki sa koordinatama iz odgovaraju\' cih skupova.
$$A_1{\rm x}\ldots{\rm x}A_n =_{def} \{ (a_1, ..., a_n) | a_1 \in A_1, ..., a_n \in A_n \}$$
Ako je bilo koji od skupova $A_1, ..., A_n$ prazan, onda je po definiciji prazan i skup $A_1{\rm x}\ldots{\rm x}A_n$. Ako je $A_1 = A_2 = ... = A_n = A$, onda se odgovaraju\' ci Dekartov proizvod obele\v zava sa $A^n$ i zove se Dekartov n-ti stepen skupa A, gde je $A^1 = A$. Ako je $A \neq \oslash$, onda je Dekartov stepen zgodno pro\v siriti i za n=0, na sl. na\v cin: $A^0 =_{def} \{\oslash\}$, odakle sledi da $A^0$ je jednoelementni skup.
\subsection{Operacija partitivnog skupa}
Skup \v ciji su elementi svi podskupovi jednog skupa naziva se partitivni skup.
$$P(X) =_{def} \{A | A \subseteq X\}$$
Prazan skup je element svakog partitivnog skupa. Skup X je element P(X). Za razliku od praznog skupa koji nema elemenata, njegov partitivni skup se sastoji od jednog elementa: $P(\oslash) = \{\oslash\}$. Broj elemenata P(X) je $2^n$, ukoliko skup X ima N elemenata.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% BINARNE RELACIJE, KOMPOZICIJA B...
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Binarne relacije, kompozicija binarnih relacija, inverzna binarna relacija}
Binarne relacije izmedju skupova A i B su podskupovi Dekartovog proizvoda dva skupa A i B.
$$\rho = \{(a, x), (b, y), ...\} \in A{\rm x}B \hspace{1cm}(A=\{a, b, c\}, B=\{x, y\})$$
Inverzna relacija: Neka je $\rho$ neka binarna relacija izmedju A i B. Relacija $\sigma$ koja je relacija izmedju B i A, takva da je $(x, y) \in \sigma$ akko $(y, x) \in \rho$, tj. $\sigma = \{ (x,y) | (y, x) \in \rho, y \in A, x \in B \}$ naziva se inverzna relacija relacije $\rho$. Nekada se ozna\v cava i kao $\rho^{-1}$.\\
Kompozicija relacija: Neka je $\sigma$ relacija izmedju skupova A i B, i $\rho$ relacija izmedju skupova B i C. Tada je relacija $\tau$ kompozicija relacija izmedju relacija $\rho$ i $\sigma$ u oznaci $\tau = \rho \circ \sigma$, ako za $$(a, c) \in \tau \Longleftrightarrow_{def} \exists b ((a, b) \in \sigma \wedge (b, c) \in \rho),$$odnosno
$$\tau = \rho \circ \sigma = \{ (a, c) \in A {\rm x} C | \exists b \in B, (a, b) \in \sigma \wedge (b, c) \in \rho \}$$\\
Va\v zi:\\
Asocijativnost kompozicije: $(\rho \circ \sigma) \circ \tau = \rho \circ (\sigma \circ \tau)$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% FUNKCIJE, OSOBINE (KOMPOZICIJA,...
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Funkcije, osobine (kompozicija, 1-1 i na preslikavanja)}
Neka su A i B skupovi. Funkcija iz A u B je $f \subseteq A {\rm x} B$ tako da za svako $x \in A$ postoji ta\v cno jedno $y \in B$, tako da $(x, y) \in f$. Funkcija ili preslikavanje je uredjena trojka (A, B, f), gde su prve dve koordinate dati skupovi A i B, a treća je f kojom se svakom elementu skupa A dodeljuje tačno jedan element skupa B. Zapisuje se $f: A \longrightarrow B$.
Skup A je domen funkcije f. To je skup sa kojeg vršimo preslikavanje.
Skup B je kodomen funkcije f. To je skup na koji vršimo preslikavanje.
Preslikavanje ili funkcija je zapravo relacija sa osobinom da svaki element skupa A stavlja u relaciju sa ta\v cno jednim elementom skupa B.
$(\forall x\in A)(\exists y\in B)(x, y)\in f$ i $(\forall x \in A)(\forall y, z \in B)(x, y)\in f \wedge (x, z)\in f \Longrightarrow y=z$.
Postoji razli\v cit zapis funkcija:\\
\hspace{2px}\\
$f = \{ (x, x^2) | x \in \textbf{N} \}\\$
$f = \{ (0, 0), (1, 1), (2, 4), ... \}\\$
$f: \textbf{N} \longrightarrow \textbf{N}\\$
$f =$
$\left(\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 2 &\ldots\\
0 & 1 & 4 & \ldots
\end{array}\right)\\
$f =$
\left(\begin{array}{c}
x\\
x^2
\end{array}\right)\\
$
$f = < f(x) | x \in \textbf{N} >$\\
$f = < x^2 | x \in \textbf{N} >$\\
Naj\v ce\v s\' ci zapis je: $f(x) = x^2$\\
Formalna definicija:
\hspace{2px}\\
(1) $f \subseteq A {\rm x} B$\\
(2) $\forall a \in A: \exists b \in B, t.d. (a, b) \in f$\\
(3) $\forall a \in A \wedge \forall b, b' \in B \wedge (a, b), (a, b') \in f \Longrightarrow b=b'$
Skup vrednosti funkcije f: $f(A) = \{ f(a) | a \in A \}$
Mo\v ze da va\v zi i za podskup $X \subseteq A$ i to je slika skupa X: $f[X] = \{ f(x) | x \in X \}$
\subsection{Inverzna funkcija}
Dati su skupovi A i B i funkcija $f: A \longrightarrow_{1-1}^{na} B$. Mo\v zemo uvesti funkciju $f^{-1}: B \longrightarrow A$.\\
$y=g(x) \Longleftrightarrow x=f(y) \hspace{1cm} g=f^{-1}=\{ (x, y) | (y, x) \in f \}$.
Inverzne funkcije su simetri\v cne u odnosu na $x=y$ pravu.
\subsection{Inverzna slika}
Ako imamo skupove A i B i preslikavanje $f: A \longrightarrow B$, inverzna slika funkcije $f$ je funkcija u oznaci $f^{-1}$.\\
$f^{-1}[Y] = \{ x \in A | f(x) \in Y \}$.\\
Osobine:\\
\hspace{2px}\\
$\forall X, Y \subseteq A$\\
$f[X \cup Y] = f[X] \cup f[Y]$\\
$f[X \cap Y] \subseteq f[X] \cap f[Y]$\\
\hspace{2px}\\
$\forall X, Y \subseteq B$\\
$f^{-1}[X \cup Y] = f^{-1}[X] \cup f^{-1}[Y]$\\
$f^{-1}[X \cap Y] \subseteq f^{-1}[X] \cap f^{-1}[Y]$\\
\subsection{Injekcija}
Preslikavanje ili funkcija $f$ skupa A u skup B, u oznaci $f: A \longrightarrow B$ je injekcija ili '1-1' ako za bilo koja dva razlicita elementa $x_1, x_2 \in A$ i njihove slike su razli\v cite, tj. $f(x_1) \neq f(x_2)$:\\
$$(\forall x_1, x_2 \in A)(x_1 \neq x_2) \Longrightarrow (f(x_1) \neq f(x_2))$$
Ponekad pi\v semo $f: A \longrightarrow_{1-1} B$.
\subsection{Surjekcija}
Preslikavanje ili funkcija $f$ skupa A u skup B, u oznaci $f: A \longrightarrow B$ je surjekcija ili 'na' ako za svaki element $b \in B$ postoji $a \in A$ takav da je $b = f(a)$, tj:\\
$$(\forall b \in B)(\exists a \in A)\hspace{5px} t.d. \hspace{5px}(b = f(a))$$
Ponekad pi\v semo $f: A \longrightarrow^{na} B$.\\
\hspace{2px}\\
Funkcija koja je istovremeno i '1-1' i 'na' zove se bijekcija.
\subsection{Kompozicija funkcija}
Kompozicija funkcija, proizvod ili slaganje funkcija je binarna operacija:
$$f: A \longrightarrow B \wedge g: B \longrightarrow C \Longrightarrow h = g \circ f, h: A \longrightarrow C$$
za bilo koje date skupove A, B, i C.
$$h(x)=_{def} g(f(x)) \hspace{10px} odnosno \hspace{10px} (g \circ f)(x) =_{def} g(f(x))$$
Slaganje funkcija je asocijativnog karaktera:\\
$$h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$$
Dokaz:\\
\\
$(h \circ(g \circ f))(x)=h((g \circ f)(x))=h(g(f(x)))=(h \circ g)(f(x))=((h \circ g) \circ f)(x)$\\
Ako su date funkcije $f: A \longrightarrow B$ i $g: X' \longrightarrow B$,\\
$f=g$ akko $X=X' \wedge \forall x \in X \hspace{3px} f(x)=g(x)$\\
$f=g$ akko: (1) $dom(f) = dom(g)$ i (2) $f$ i $g$ imaju iste vrednosti za elemente domena\\
Funkcije $(A, B, f)$ i $(C, D, g)$ su jednake akko je $A=C, B=D$ i $f=g (\Longleftrightarrow \forall x \in A=C, f(x)=g(x))$\\
$g \circ f \neq f \circ g$, u op\v stem slu\v caju.\\
Teorema: Neka su $f: A \longrightarrow B$, $g: B \longrightarrow C$:\\
(1) proizvod 1-1 funkcija je 1-1 funkcija
(2) proizvod na funkcija je na funkcija
(3) proizvod bijektivnih funkcija je bijektivna funkcija
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% PERMUTACIJE KONACNIH SKUPOVA, RA..
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Permutacije kona\v cnih skupova, ra\v cunanje proizvoda i inverzna permutacija}
Dat je skup X i funkcija $f: X \longrightarrow_{1-1}^{na} X$. Funkciju $f$ nazivamo permutacijom skupa X.
Skup svih permutacija skupa X ozna\v cavamo: \\$Sym(x) = \{ p | p: X \longrightarrow_{1-1}^{na} X \}$.\\
Grupa permutacija je simetri\v cna grupa skupa X, npr.\\
Grupa $(Sym(X), 0, -1, i)$\\
\\
$X = \{ 1, 2, ..., n \}$, $p: X \longrightarrow_{1-1}^{na} X$, $q: X \longrightarrow_{1-1}^{na} X \Longrightarrow q \circ p$ je takodje 1-1 i na funkcija.\\
\\
$p, q \in Sym(X) \Longrightarrow q \circ p \in Sym(X)$\\
\\
Ako je $p: X \longrightarrow_{1-1}^{na} X$ i $p^{-1}: X \longrightarrow_{1-1}^{na} X$, onda $p \in Sym(X) \Longrightarrow p^{-1} \in Sym(X)$
\subsection{Proizvod permutacija}
Ako su date dve permutacije p i q, primenjivanjem prvo q, a zatim i p bi dalo isti rezultat kao i primena samo jedne neke permutacije r. Proizvod permutacija p i q se tada defini\v se kao permutacija r.
$\left(\begin{array}{ccccc}1&2&3&4&5\\2&3&1&5&4\end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{ccccc}1&2&3&4&5\\3&1&2&4&5\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccccc}1&2&3&4&5\\1&2&3&5&4\end{array}\right)$\\
Re\v senje: Prvo se primeni permutacija q na element 1, odnosno $1 \longrightarrow 3$, pa se onda primeni permutacija p na dobijeni element, odnosno $3 \longrightarrow 1$, pa se na kraju dobije $1 \longrightarrow 1$. Postupak se ponavlja za ostale elemente.
\subsection{Inverzna permutacija}
Inverzna permutacija je permutacija funkcija, ta\v cnije bijekcija, dakle ima svoju inverznu funkciju.
To je permutacija u kojoj se razmenjuje svaki broj i broj mesta koji on zauzima.
$p^{-1} = \left(\begin{array}{ccccc}2&3&1&5&4\\1&2&3&4&5\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccccc}1&2&3&4&5\\3&1&2&5&4\end{array}\right)$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% RELACIJE EKVIVALENCIJE I PARTIC...
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Relacije ekvivalencije i particije skupova, primeri}
\subsection{Relacija ekvivalencije}
Binarna relacija $\sim$ ('tilda') je relacija ekvivalencije domena A ako ispunjava slede\' ce karakteristike:
\begin{itemize}
\item refleksivnost: $a \sim a, \forall a \in A$
\item simetri\v cnost: $a \sim b \Longrightarrow b \sim a, \forall a, b \in A$
\item tranzitivnost: $(a \sim b \wedge b \sim c) \Longrightarrow a \sim c, \forall A,b,c \in A$
\end{itemize}
Relacija ekvivalencije je binarna relacija nad domenom A: $\sim\hspace{2px} \subseteq A {\rm x} A; (a, b) \in \sim$ za neke $a,b \in A$.
Primeri:\\
\\
(1) jednakost\\
(2) paralelnost pravih: $p \sim q$ akko $p||q$.\\
(3) kongruencija po modulu n $(n \in \textbf{N})$: $x=_ny$ ili $x\equiv y(mod n)$.
\subsubsection{Klasa ekvivalencije}
Klasa ekvivalencije elementa $x \in A$, u oznaci $x/\sim $, [x] ili $C_x$, je skup svih elemenata y koji su u relaciji sa kojima je x u relaciji:
$$x/\sim =_{def} \{ y \in A | x \sim y \}, x \in A$$
\subsubsection{Particija skupa}
Particija skupa A je familija $\chi$ podskupova od A:\\
(1) $X \in \chi \Longrightarrow X \notin \oslash$\\
(2) $X, Y \in \chi, X \neq Y \Longrightarrow X \cap Y \neq \oslash$\\
(3) $\bigcup_{X \in \chi} X = A$
Transverzala ili izborni skup particije $\chi$ je $T \subseteq A$ tako da $T$ bira ta\v cno po jedan element iz svakog \v clana particije $\chi$.
$\chi = \{ X_t | t \in T \}, t \in X_t$\\
Broj \v clanova skupa A jednak je sumi broja \v clanova svakog elementa: $|A| = \sum_{t \in T} |X_t|$
\subsection{Parcijalno i linearno uredjeni skupovi}
Relacija $\preceq$ je relacija uređenja na A ako je refleksivna, antisimetrična i tranzitivna
\begin{itemize}
\item refleksivnost: $a \preceq a, \forall a \in A$
\item antisimetri\v cnost: $a \preceq b \wedge b \preceq a \Longrightarrow a = b, \forall a, b \in A$
\item tranzitivnost: $(a \sim b \wedge b \sim c) \Longrightarrow a \sim c, \forall A,b,c \in A$
\end{itemize}
Primeri:\\
\begin{flushleft}
(1) Haseovi dijagrami\\
\end{flushleft}
(2) $(P(x), \subseteq)\\
y \in P(x)\\
y \subseteq y\\
y \subseteq z, z \subseteq y \Longrightarrow y=z\\
y \subseteq z, z \subseteq u \Longrightarrow y \subseteq u
$\\
\\
(3) Puno binarno drvo: Drvo $(T, \leq, v)$ predstavlja parcijalan uredjen sistem koji ima:\\
- najmanji element\\
- (u smislu kona\v cnih skupova) $\forall a \in T$, [v, a] je lanac tj. linearno uredjen skup (svaki ima svog pretka)\\
$[v, a]$ $= \{ x \in T | 0 \leq x \leq a \} \hspace{1cm} x, y < a \Longrightarrow (x \leq y) \vee (y \leq x)$\\
\\
(4) Grupa $(N, |)$, gde je $|$ relacija $x|y$:\\
$x|x\\
x|y, y|x \Longrightarrow x=y\\
x|y, y|z \Longrightarrow x|z
$\\
\begin{itemize}
\item[-] a $\in$ A je najmanji element ako za x $\in$ A važi $a \preceq x$
\item[-] b $\in$ A je najveći element ako za x $\in$ A važi $x \preceq b$
\item[-] a $\in$ A je minimalni element ako za x $\in$ A za koje važi $a \preceq x$, važi i $x=a$
\item[-] b $\in$ A je maksimalni element ako za x $\in$ A za koje važi $x \preceq b$, važi i $x=b$
\end{itemize}
Linearno uredjeni skupovi su oni koji zajedno sa relacijom $\leq$ \v cine grupu $(A, \leq)$, takvu da je:\\
(1) $\leq$ je relacija uredjenja (RAT)\\
(2) $\leq$ ispunjava jo\v s i:\\
$x \leq y \vee y \leq x, x,y \in A\\
x < y \vee x=y \vee y<x$\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% KONACNI I BESKONACNI SKUPOVI
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Kona\v cni i beskona\v cni skupovi i kardinalni broj}
Skupovi X i Y su ekvipotentni (iste kardinalnosti, iste mo\'ci) akko$_{def}$ postoji $f: X \longrightarrow^{na}_{1-1} Y$. Ako skupovi imaju istu kardinalnost, to se zapisuje: $|X| = |Y|, X \approx Y$, gde je oznaka $|X|$ kardinalni broj skupa X (isto va\v zi i za skup Y).
$$f: X \longrightarrow_{1-1}^{na} Y \Longrightarrow |X|=|Y|$$
$$X \approx Y \Longleftrightarrow_{def} \bigvee_f g: X \longrightarrow_{1-1}^{na} Y$$
$\approx$ je relacija ekvivalencije.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% POTREBAN JE DOKAZ
Skup je konačan akko postoji postoji bijekcija $F:\{1,2,...,n\} \longrightarrow X$ za neko $n \in N$.
$|X|=n; X = \{ f(1), f(2), ..., f(n) \} = \{ x_1, x_2, ..., x_n \}$\\
\\
Primeri kona\v cnih skupova:\\
(1) $|\{ 1, 2, ..., n \}| = n$\\
(2) $X = \{ k \in \textbf{N} | n \leq k \leq m \}$\\
(3) $|A|=n; |P(A)|=2^n$\\
(4) $\textbf{S}_n$ - permutacije skupa $\{ 1, 2, ..., n \}; |\textbf{S}_n|=n!$\\
(5) $|A|=n; C=\{ X \subseteq A | |x|=k \}; |C|=\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)$ - kombinacije bez ponavljanja\\
\begin{center}BESKONA\v CNI SKUPOVI\end{center}
Definicije beskona\v cnih skupova:\\
Skup je beskonačan ako nije konačan.
Skup je beskonačan ako možemo uslikati $N$ u njega funkcijom 1-1.
Ako mo\v zemo preslikati skup u njegov pravi deo, onda je on beskona\v can.\\
\\
Primeri beskonačnih skupova:\\
1) N=\{1,2,...\}\\
2) $X \subseteq Y$, X je beskonačan skup, pa je i Y beskonačan\\
3) $f: N \longrightarrow Y$, Z je beskonačno\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% OVDE TREBA UBACITI NAJMANJI BESKONACAN KARDINALAN BROJ = ALEF NULA I ARITMETIKU SA ALEFIMA I MOC KONTINUUMA
\subsection{Dirikleov princip za kona\v cne skupove}
Ako $|x_1 \cup ... \cup x_n| \geq n+1$ tada za neko $i$ va\v zi $|x|_i \geq 2$.\\
\\
Posledice:\\
(1) $f: A \longrightarrow A$; A je kona\v can skup, tada $f: A \longrightarrow_{1-1}^{na} A$\\
$a_1, a_2, ..., a_n \hspace{1cm} A | \{ a_i \} \hspace{1cm} n-1$\\
$a_1', a_2', ..., a_n' \hspace{1cm} A | \{ a_i' \}\hspace{1cm} n-1$\\
\\
(2) $f: A \longrightarrow^{na} A$ tada $f: A \longrightarrow_{1-1}^{na} A$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% BULOVE ALGEBRE
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Bulove algebre}
Bulova algebra je algebarska struktura $\textbf{B} = (B, \vee , \wedge , ', 0, 1)$.\\
\\
B - domen (neprazan skup)\\
$\vee$ - bulovska disjunkcija\\
$\wedge$ - bulovska konjunkcija\\
' - bulovski komplement\\
0,1 - Bulove konstante, $0,1 \in B$\\
\\
Struktura zadovoljava sledeće aksiome:\\
1) $(x \wedge y) \wedge z = x \wedge (y \wedge z)$ - zakon asocijacije\\
$(x \vee y) \vee z = x \vee (y \vee z)$\\
2) $x \wedge y = y \wedge x$ - zakon komutativnosti\\
$x \vee y = y \vee x$\\
3) $x \wedge (x \vee y) = x$ - zakon apsorpcije\\
$x \vee (x \wedge y) = x$\\
4) $x \vee 0 = x$ - zakon neutralnog elementa\\
$x \wedge 1 = x$\\
5) $x \vee x' = 1$ - zakon komplementa\\
$x \wedge x' = 0$\\
6) $0≠1$ - svaka Bulova algebra ima dva elementa\\
\\
Primeri:\\
(1) Iskazna logika: $\textbf{B}_2 = (B_2, \vee, \wedge, ', 0, 1)$\\
(2) $\textbf{B}_2^n = (B_2^n, \vee, \wedge, ', 0, 1), B^2_n = \{ (\alpha_1, ..., \alpha_n) | \alpha_1, ..., \alpha_n \in \{ 0, 1 \} \}$\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% BULOVSKI IDENTITETI, DE MORGANO...
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Bulovski identiteti, de Morganove jednakosti}
Svi identiteti iz aksioma bi mogli da se ubace i ovde\\
$x \wedge x = x\\
x \vee x = x\\
x \wedge 0 = 0\\
x \vee 1 = 1\\
0'=1\\
1'=0\\
(x')' = x$\\
\\
De Morganove jednakosti:\\
$(x \wedge y)' = x' \vee y'\\
(x \vee y)' = x' \wedge y'$\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% EUKLIDOV ALGORITAM
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Euklidov algoritam}
Euklidov algoritam se koristi za određivanje najvećeg zajedničkog delioca dva cela broja. NZD dva cela broja je broj koji deli ta dva broja bez ostatka.\\
$a,b \in N, b≠0\\
a = b\cdot q_1 + r_1 , 0 \leq r_1 < b\\
b = r_1\cdot q_2 + r_2, r_2 < r_1\\
r_1 = r_2\cdot q_3 + r_3, r_3 < r_2\\
\vdots\\
r_{n-2} = r_{n-1}\cdot q_n + r_n, r_n < r_{n-1}\\
r_{n-1} = r_n\cdot q_{n+1} + r_{n+1}, r_{n+1} = 0$\\
Postupak se mora završiti jer u \textbf{N} nema beskonačnih regresija (opadajućeg niza).\\
NZD je poslednji nenula ostatak, pa je NZD(a,b) = $r_n$
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% LINEARNA DIOFANTOVSKA JEDNACINA
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Linearna diofantovska jedna\v cina}
$d = \alpha a + \beta b$\\
\\
Op\v sti oblik linearne diofantovske jedna\v cine: $ax + by = c$\\
Diofantovska jednačina $ax + by = c$ ima rešenje akko $d = NZD(a,b) \wedge d|c$ oblika
$x = (\frac{c}{d})\cdot \alpha + (\frac{b}{d})\cdot t$ i $y = (\frac{c}{d})\cdot \beta - (\frac{a}{d})\cdot t$, \\
gde je t neki ceo broj, a $\alpha$ i $\beta$ su dobijeni iz Euklidovog algoritma. Ako d ne deli c, onda jednačina nema rešenja.
\end{document}