Algorithms (task9)
Author
Kamila
License
Creative Commons CC BY 4.0
Abstract
Module math
Module math
{}\documentclass{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{tikz}
\usepackage{amscd}
\usepackage[inline]{enumitem}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{dsfont}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{epigraph}
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}
\renewcommand\normalsize{\sloppypar}
\setlength{\topmargin}{-0.5in}
\setlength{\textheight}{9.1in}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.3in}
\setlength{\textwidth}{7in}
\setlength{\parindent}{0ex}
\setlength{\parskip}{1ex}
\title{Домашнее задание на девятую неделю}
\author{Бельденова Камила, 675}
\begin{document}
\maketitle
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
1&2&3&4&5&6&7&$\Sigma$\\
\hline
&&&&&&&\\
\hline
\end{tabular}
\\\\
\begin{enumerate}
\item[\textbf{Задача 1.}] Покажите, как вычислить $a^{54}$ за $7$ умножений. Можно ли еще быстрее?\\
\\
$1)$ $a \cdot a = a^{2}$\\
$2)$ $a^{2} \cdot a^{2} = a^{4}$\\
$3)$ $a^{4} \cdot a^{4} = a^{8}$\\
$4)$ $a \cdot a^{8} = a^{9}$\\
$5)$ $a^{9} \cdot a^{9} = a^{18}$\\
$6)$ $a^{9} \cdot a^{18} = a^{27}$\\
$7)$ $a^{27} \cdot a^{27} = a^{54}$\\
Нет, быстрее нельзя.\\
Первым шагом так и останется $a \cdot a = a^{2}$. Пусть дальше мы получим $a^{3}=a \cdot a^{2}$. Посмотрим сможем ли мы за оставшиеся $4$ шага получить $a^{54}$:\\
$3)$ $a^{3} \cdot a^{3} = a^{6}$\\
$4)$ $a^{6} \cdot a^{6} = a^{12}$\\
$5)$ $a^{12} \cdot a^{12} = a^{24}$\\
$6)$ $a^{24} \cdot a^{24} = a^{48}$\\
$a^{54}$ не получили $\Rightarrow$ вторым шагом оставим операцию $a^{2} \cdot a^{2} = a^{4}$. Тогда после третьего шага можем получить $a^{5}=a \cdot a^{4}$, $a^{6}=a^{2} \cdot a^{4}$ или $a^{8}=a^{4} \cdot a^{4}$. В случае с $a^{5}$ максимум, что мы можем получить: $a^{40}$ ~---~ за оставшиеся $3$ шага. Если же на третьем шаге мы получим $a^{6}$, то на шестом максимум ~---~ $a^{48}$ $\Rightarrow$ третьим шагом оставим операцию $a^{4} \cdot a^{4} = a^{8}$. На четвертом шаге можем получить:~ $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{12}$ и $a^{16}$. Рассуждая аналогично предыдущим шагам, придем к выводу, что рациональнее всего оставить операцию $a^{8} \cdot a^{8} = a^{16}$, чтобы добиться результата за наименьшее количество шагов. Аналогично рассуждаем и на пятом шаге, оставляя в алгоритме операцию $a^{16} \cdot a^{16} = a^{32}$. Заметим, что имея $a$, $a^{2}$, $a^{4}$, $a^{8}$, $a^{16}$ и $a^{32}$, одним умножением мы не сможем получить $a^{54}$. Т.~е. несмотря на то, что на каждом шаге мы оставляли максимальный результат, мы не смогли получить $a^{54}$ быстрее, чем за 7 шагов $\Rightarrow$ быстрее, чем за $7$ умножений вычислить нельзя.\\
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{Задача 2.}] Делится ли $4^{1356}-9^{4824}$ на $35$? Делится ли $5^{30000}-6^{123456}$ на $35$?
\begin{enumerate}
\item
По свойству мультипликативности функции Эйлера:\\
$\varphi{(35)}=\varphi{(5)} \cdot \varphi{(7)}=(5-1)\cdot (7-1)=24\\$
По теореме Эйлера:\\
$4^{\varphi{(35)}}=4^{24} \equiv 1\pmod{35}$\\
$4^{1356}=4^{1344+12}=4^{24 \cdot 56} \cdot 4^{12} \equiv 1^{56} \cdot 4^{12}=256^{3} \equiv 11^{3}=11 \cdot 121 \equiv 11 \cdot 16 = 176 \equiv 1 \pmod{35}$\\
$9^{4824}=9^{24 \cdot 201} \equiv 1^{201} \equiv 1 \pmod{35} $\\
$4^{1356}-9^{4824} \equiv 1-1 \pmod{35}=0\pmod{35} \Rightarrow$ да, делится.\\
\item
$\varphi{(31)}=\varphi{(30)}$, т.~к. $31$ ~---~ простое число. \\
По теореме Эйлера:\\
$5^{\varphi{(31)}}=5^{30} \equiv 1\pmod{31}$\\
$5^{30000}=5^{30 \cdot 1000} \equiv 1^{1000} \equiv 1 \pmod{31}$\\
$6^{123456}=6^{30 \cdot 4115 +6} \equiv 1^{4115} \cdot 6^{6} = 36^{3}\equiv 5^{3} =125 \equiv 1 \pmod{31} $\\
$5^{30000}-6^{123456} \equiv 1-1 \pmod{31}=0\pmod{31} \Rightarrow$ да, делится.\\
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{Задача 3.}] Пусть $F_{k}$ ~---~ $k$-ое число Фибоначчи.Найдите результат работы Алгоритма Евклида на паре $(F;F_{k+1})$ . Найдите также число итераций
алгоритма.\\
$F_{0}=0, F_{1}=1, F_{k}=F_{k-1}+F_{k-2}, k\geq 2 , k \in \mathbb{Z} $\\
Euclid:\\
$gcd(F_{k};F_{k+1})=gcd(F_{k};F_{k+1}-F_{k})=gcd(F_{k-1};F_{k})$ ~---~это первый шаг\\
Вторым шагом будет: $gcd(F_{k-1};F_{k})=gcd(F_{k-1};F_{k}-F_{k-1})=gcd(F_{k-2};F_{k-1})$\\
Продолжая выполнять алгоритм $k$ шагов, придем к выводу:\\
$gcd(F_{k};F_{k+1})=gcd(F_{1};F_{2})=1$ $\Rightarrow$ числа $F_{k};F_{k+1} взаимно просты.$\\
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{Задача 4.}]Найдите обратные $20\pmod{79}$, $3\pmod{62}$.\\
\item $20a \equiv 1\pmod{79}$\\
Euclid:\\
\begin{center} $20~79$\\
$20~19$\\
$1~~19$\\
$1~~~0$\\
\end{center}
Extended Euclid:\\
$1=20-19=20-(79-3 \cdot 20)=20-79+3 \cdot 20=4 \cdot \underline{20}-1 \cdot \underline{79} $\\
$20 \cdot 4 \equiv 1\pmod{79}$.\\
Ответ: $4$ является обратным к $20$ по модулю $79$.\\
\item $3a \equiv 1\pmod{62}$\\
Euclid:\\
\begin{center} $3~62$\\
$3~~2$\\
$1~~2$\\
$1~~0$\\
\end{center}
Extended Euclid:\\
$1=3-2=3-(62-3 \cdot 20)=3-62+3 \cdot 20=21 \cdot \underline{3}-1 \cdot \underline{62} $\\
$3 \cdot 21\equiv 1\pmod{62}$.\\
Ответ: $21$ является обратным к $3$ по модулю $62$.\\
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{Задача 5.}] Найдите все решения уравнения $35x=10\pmod{50}$.\\
Euclid:\\
$50~~35$\\
$15~~35$\\
$15~~~5$\\
$0~~~~5$\\
$gcd(50;35)=5$\\
Разделим уравнение на $5$:\\
$7x=2\pmod{10}$\\
Подберем решение $x_{0}$:\\
$7 \cdot 6 =2\pmod{10}$ $\Rightarrow$ $x_{0}=6$\\
$x=x_{0}+i \cdot \frac{n}{d}=6+10i$\\
$i=0,\ldots , d-1=0, \ldots,4$\\
Ответ: $x_{1}=6$, $x_{2}=16$, $x_{3}=26$, $x_{4}=36$, $x_{5}=46$.\\
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{Задача 6.}] Найдите наименьшее натуральное число, имеющее остатки $2,3,1$ от деления на $5, 13, 7$ соответственно.\\
\begin{equation*}
\begin{cases}
a=2\pmod{5}\\
a=3\pmod{13}\\
a=1\pmod{7}\\
\end{cases}
\end{equation*}
$n_{1}=5~~~~m_{1}=91$\\
$n_{2}=13~~~m_{2}=35$\\
$n_{3}=7~~~~m_{3}=65$\\
\begin{enumerate}
\item $5x_{5}+91y_{5}=1$\\
Euclid:\\
$5~~91$\\
$5~~~1$\\
$0~~~1$\\
Extended Euclid:\\
$1=1 \cdot \underline{91}-\underline{5} \cdot 18$\\
\[
\boxed { $91$y_{5}$$=$91$} \qquad
\]
\item $13x_{13}+35y_{13}=1$\\
Euclid:\\
$13~~35$\\
$13~~~9$\\
$4~~~~9$\\
$4~~~~1$\\
$0~~~1$\\
Extended Euclid:\\
$1=9-2 \cdot 4= 35-2 \cdot 13-2 \cdot (13-9)= 35-2 \cdot 13-2 \cdot( 13-(35-2 \cdot 13))=35-4 \cdot 13 + 2\cdot 35 - 4 \cdot 13 = \underline{3} \cdot 35-\underline{8} \cdot 13$\\
\[
\boxed { $35$y_{13}$$=$105$} \qquad
\]
\item $7x_{7}+65y_{7}=1$\\
Euclid:\\
$7~~~65$\\
$7~~~~2$\\
$1~~~~2$\\
$1~~~0$\\
Extended Euclid:\\
$1=7-2 \cdot 3= 7-3 \cdot (65-7 \cdot 9)= 7-3 \cdot 65+7 \cdot 27= 28 \cdot \underline{7}- 3 \cdot \underline{65} $\\
\[
\boxed { $65$y_{13}$$=$-195$} \qquad
\]
$a=2 \cdot 91 +3 \cdot 105 -195=302$\\
Ответ: $302$.\\
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{Задача 7.}] Докажите, что в поле $\mathbb{F}_p =\mathbb{Z}/(p)$ выполняется равенство $(a+b)^p = a^p+b^p$.\\
$(a+b)^p = a^p+b^p=a^p+C_p^1a^{p-1}b^1+\ldots+C_p^{p-1}ab^{p-1}+b^p$\\
\\
Запишем формулу для биномиального коэффициента:\\
\begin{center}
$C_p^k=\frac{p!}{k!(p-k)!}=\frac{1 \cdot \ldots \cdot p}{k!(p-k)!}$.\\
\end{center}
Из формулы видно, что числа вида $C_p^k$ ($k \notin {0,p}$) кратны $p$, а, значит, сравнимы с $0$ по модулю $p$, поэтому имеем:\\
\begin{center}
$(a+b)^p \stackrel{mod{p}}= a^p+b^p$\\
\end{center}
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ч.~т.~д.
\end{enumerate}
\end{document}